Sejam A, B e C matrizes quadradas de mesma ordem. Verifique quais das afirmações a seguir são verdadeiras. Para as afirmações falsas, dê um exemplo que contraria a afirmação:
A(B+C)=(B+C) A;

Passo 1

O enunciado dá que A,B,C são matrizes quadradas da mesma ordem e pede para verificar se a igualdade
A(B+C)=(B+C)A
é verdadeira (ou não).
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A,B,C são matrizes quadradas de mesma ordem (podem ser, por exemplo, 2\times2, 3\times3, etc.).
  • A pergunta é: a identidade mostrada vale para quaisquer A,B,C ou só em casos particulares?

Passo 2

Relembrando propriedades básicas (aula rápida e prática):
  • A multiplicação de matrizes é distributiva em relação à soma. Ou seja, para quaisquer matrizes compatíveis,
A(B+C)=AB+AC \qquad\text{e}\qquad (B+C)A=BA+CA.
Aqui \,AB significa multiplicar A por B; cada produto é uma matriz cujo cálculo é feito linha por coluna.
  • Importante: a multiplicação de matrizes, em geral, NÃO é comutativa. Ou seja, normalmente AB\neq BA. Isso é a fonte de muitas diferenças inesperadas quando se manipula matrizes.
Explicando o que as letras significam na fórmula acima:
  • A(B+C) é primeiro somar B+C e depois multiplicar A por esse resultado.
  • (B+C)A é multiplicar pelo lado esquerdo a soma B+C por A.
  • Usando distributividade, as duas expressões se transformam em AB+AC e BA+CA respectivamente.

Passo 3

Comparando as duas formas distribuídas obtemos a condição equivalente
AB+AC = BA+CA.
Rearranjando termos isso dá
AB-BA = CA-AC.
Uma forma compacta de escrever XY-YX é o comutador [X,Y]. Com essa notação a condição fica
[A,B]=[C,A].
Isto mostra que a igualdade original só é garantida se houver uma relação de comutação específica entre A,B e C. Em particular, a igualdade vale sempre se, por exemplo, A comuta com B e com C (isto é, AB=BA e AC=CA). Mas nada no enunciado garante que isso aconteça para matrizes quaisquer. Portanto suspeitamos que a afirmação é, em geral, falsa — basta um contraexemplo com matrizes que não comutam.

Passo 4

Vou construir um contraexemplo simples com matrizes 2\times2. Escolho C como a matriz nula (isso é permitido: C=0 é uma matriz quadrada da mesma ordem). Nesse caso a igualdade se reduz a verificar se AB=BA; portanto basta escolher A e B que não comutam.
Escolho
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Calculo AB entrada a entrada (multiplicação linha por coluna):
AB= \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot 0 + 1\cdot 1 & 0\cdot 0 + 1\cdot 0\\[4pt] 0\cdot 0 + 0\cdot 1 & 0\cdot 0 + 0\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Agora calculo BA:
BA= \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot 0 + 0\cdot 0 & 0\cdot 1 + 0\cdot 0\\[4pt] 1\cdot 0 + 0\cdot 0 & 1\cdot 1 + 0\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Vê-se claramente que
AB=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad BA=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},
logo AB\neq BA. Como escolhemos C=0, temos (B+C)=B e assim
A(B+C)=AB\neq BA=(B+C)A.
Portanto a igualdade não vale para estas A,B,C, o que é um contraexemplo que mostra que a afirmação não é verdadeira em geral.]

Passo 5

Resumo didático e motivador: a propriedade distributiva é válida (por isso escrevemos AB+AC e BA+CA), mas a falta de comutatividade da multiplicação de matrizes impede que AB+AC seja igual a BA+CA para matrizes quaisquer. Sempre que precisar verificar uma igualdade do tipo A(B+C)=(B+C)A numa prova, teste se A comuta com B e com C (ou utilize um contraexemplo simples como o acima). Força aí — essas coisas confundem no começo, mas com exemplos fica mais claro!

Resposta

Falsa. Contraexemplo:
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},
pois A(B+C)=AB=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=BA=(B+C)A.]

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