Sejam
e
matrizes quadradas de mesma ordem. Verifique quais das afirmações a seguir são verdadeiras. Para as afirmações falsas, dê um exemplo que contraria a afirmação:
;
Passo 1
O enunciado dá que
são matrizes quadradas da mesma ordem e pede para verificar se a igualdade
é verdadeira (ou não).
Informações relevantes que temos do enunciado:
Informações relevantes que temos do enunciado:
-
são matrizes quadradas de mesma ordem (podem ser, por exemplo, , , etc.). - A pergunta é: a identidade mostrada vale para quaisquer
ou só em casos particulares?
Passo 2
Relembrando propriedades básicas (aula rápida e prática):
- A multiplicação de matrizes é distributiva em relação à soma. Ou seja, para quaisquer matrizes compatíveis,
Aqui
significa multiplicar
por
; cada produto é uma matriz cujo cálculo é feito linha por coluna.
- Importante: a multiplicação de matrizes, em geral, NÃO é comutativa. Ou seja, normalmente
. Isso é a fonte de muitas diferenças inesperadas quando se manipula matrizes.
Explicando o que as letras significam na fórmula acima:
-
é primeiro somar e depois multiplicar por esse resultado. -
é multiplicar pelo lado esquerdo a soma por . - Usando distributividade, as duas expressões se transformam em
e respectivamente.
Passo 3
Comparando as duas formas distribuídas obtemos a condição equivalente
Rearranjando termos isso dá
Uma forma compacta de escrever
é o comutador
. Com essa notação a condição fica
Isto mostra que a igualdade original só é garantida se houver uma relação de comutação específica entre
e
. Em particular, a igualdade vale sempre se, por exemplo,
comuta com
e com
(isto é,
e
). Mas nada no enunciado garante que isso aconteça para matrizes quaisquer. Portanto suspeitamos que a afirmação é, em geral, falsa — basta um contraexemplo com matrizes que não comutam.
Passo 4
Vou construir um contraexemplo simples com matrizes
. Escolho
como a matriz nula (isso é permitido:
é uma matriz quadrada da mesma ordem). Nesse caso a igualdade se reduz a verificar se
; portanto basta escolher
e
que não comutam.
Escolho
Calculo
entrada a entrada (multiplicação linha por coluna):
Agora calculo
:
Vê-se claramente que
logo
. Como escolhemos
, temos
e assim
Portanto a igualdade não vale para estas
, o que é um contraexemplo que mostra que a afirmação não é verdadeira em geral.]
Passo 5
Resumo didático e motivador: a propriedade distributiva é válida (por isso escrevemos
e
), mas a falta de comutatividade da multiplicação de matrizes impede que
seja igual a
para matrizes quaisquer. Sempre que precisar verificar uma igualdade do tipo
numa prova, teste se
comuta com
e com
(ou utilize um contraexemplo simples como o acima). Força aí — essas coisas confundem no começo, mas com exemplos fica mais claro!
Resposta
Falsa. Contraexemplo:
pois
.]