Questão 19. A matriz quadrada A diz-se ortogonal se A A^{t}=A^{t} A=I (identidade). Verifique se
\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & \cos x & \operatorname{sen} x \\\\ 0 & -\operatorname{sen} x & \cos x \end{array}\right]
é uma matriz ortogonal.

Passo 1

O enunciado dá a matriz quadrada A e pede para verificar se ela é ortogonal. A matriz fornecida é
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & \cos x & \operatorname{sen} x \\\\ 0 & -\operatorname{sen} x & \cos x \end{pmatrix}.
O que é pedido: confirmar se A A^{t}=A^{t}A=I, onde I é a identidade 3\times3. Informações relevantes dadas:
  • Elementos da primeira linha/coluna: 1,0,0.
  • Bloco 2\times2 inferior direito com entradas \cos x,\operatorname{sen} x,-\operatorname{sen} x,\cos x.

Passo 2

Relembrando (de forma prática) o que significa verificar ortogonalidade: basta mostrar que A^{t}A=I. Para uma matriz quadrada real, se A^{t}A=I então A^{t}=A^{-1} e, a partir disso, também segue A A^{t}=I. Portanto vou calcular A^{t} e depois o produto A^{t}A; se esse produto for a identidade, concluímos que A é ortogonal.

Passo 3

Calcular a transposta A^{t} trocando linhas por colunas. A transposta é
A^{t}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & \cos x & -\operatorname{sen} x \\\\ 0 & \operatorname{sen} x & \cos x \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora vou multiplicar A^{t}A. Escrevo os dois para visualizar:
A^{t}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & \cos x & -\operatorname{sen} x \\\\ 0 & \operatorname{sen} x & \cos x \end{pmatrix}, \qquad A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & \cos x & \operatorname{sen} x \\\\ 0 & -\operatorname{sen} x & \cos x \end{pmatrix}.
O produto A^{t}A é a matriz cujos elementos são produtos escalares entre linhas de A^{t} e colunas de A. Vou calcular entrada a entrada.

Passo 5

Cálculos das entradas de A^{t}A:
  • Entrada (1,1):
1\cdot 1 + 0\cdot 0 + 0\cdot 0 = 1.
  • Entrada (1,2):
1\cdot 0 + 0\cdot \cos x + 0\cdot (-\operatorname{sen} x) = 0.
  • Entrada (1,3):
1\cdot 0 + 0\cdot \operatorname{sen} x + 0\cdot \cos x = 0.

Passo 6

Continuando para a segunda linha:
  • Entrada (2,1):
0\cdot 1 + \cos x\cdot 0 + (-\operatorname{sen} x)\cdot 0 = 0.
  • Entrada (2,2):
0\cdot 0 + \cos x\cdot \cos x + (-\operatorname{sen} x)\cdot(-\operatorname{sen} x) = \cos^{2}x + \operatorname{sen}^{2}x = 1,
usando a identidade trigonométrica \cos^{2}x+\operatorname{sen}^{2}x=1.
  • Entrada (2,3):
0\cdot 0 + \cos x\cdot \operatorname{sen} x + (-\operatorname{sen} x)\cdot \cos x = \cos x\,\operatorname{sen} x - \operatorname{sen} x\,\cos x = 0.

Passo 7

Agora a terceira linha:
  • Entrada (3,1):
0\cdot 1 + \operatorname{sen} x\cdot 0 + \cos x\cdot 0 = 0.
  • Entrada (3,2):
0\cdot 0 + \operatorname{sen} x\cdot \cos x + \cos x\cdot(-\operatorname{sen} x) = \operatorname{sen} x\,\cos x - \cos x\,\operatorname{sen} x = 0.
  • Entrada (3,3):
0\cdot 0 + \operatorname{sen} x\cdot \operatorname{sen} x + \cos x\cdot \cos x = \operatorname{sen}^{2}x + \cos^{2}x = 1.

Passo 8

Reunindo os resultados, obtém-se
A^{t}A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=I.
Como expliquei antes, para matriz quadrada real isso implica também A A^{t}=I. Portanto A A^{t}=A^{t}A=I.

Resposta

Sim. A A^{t}=A^{t}A=I.

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