Sejam A, B, C, A^{\prime}, B^{\prime} e C^{\prime} conjuntos quaisquer. Prove as afirmações a seguir.
Se A \subset B e A^{\prime} \subset B^{\prime}, então A \cap A^{\prime} \subset B \cap B^{\prime}.

Passo 1

O enunciado afirma que, dadas as inclusões
A \subset B \quad\text{e}\quad A' \subset B',
devemos mostrar que
A \cap A' \subset B \cap B'.
Para isso, vamos usar:
  1. Definição de inclusão: dizer que X \subset Y significa “para todo elemento x, se x\in X então x\in Y”.
  2. Definição de interseção: dizer que x\in X\cap Y significa “ x\in X e x\in Y”.

Passo 2

Seja x um elemento qualquer de A\cap A'. Então, por definição de interseção, temos
x\in A \quad\text{e}\quad x\in A'.
Como foi dado que A\subset B, a partir de x\in A segue x\in B.
De modo análogo, A'\subset B' e x\in A' implicam x\in B'.
Portanto
x\in B \quad\text{e}\quad x\in B',
ou seja, x\in B\cap B'.

Resposta

Logo, qualquer x\in A\cap A' pertence a B\cap B', o que prova que
A \cap A' \subset B \cap B'.

Exercícios relacionados