Sejam
e
conjuntos quaisquer. Prove as afirmações a seguir.
se, e somente se,
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
se, e somente se,
O conteúdo usado será a definição de união de conjuntos, de subconjunto e de igualdade de conjuntos (que se prova pela dupla inclusão).
O conteúdo usado será a definição de união de conjuntos, de subconjunto e de igualdade de conjuntos (que se prova pela dupla inclusão).
Passo 2
Prova de
.
Suponha
isto é, .
Suponha
isto é,
- Sempre vale
, pois se então por definição de união. - Agora, seja
. Então ou .
- Se
, já temos . - Se
, pela hipótese segue .
Logo em todo caso, ou seja,
Pela dupla inclusão concluímos
.
Passo 3
Prova de
.
Suponha
Suponha
Então, para mostrar
, tome um elemento qualquer
.
Como implica
e isso é igual a
, segue
.
Como era arbitrário,
, ou seja,
.
Como
Como
Passo 4
Reunindo os dois resultados, temos mostrado que
como desejado.
Resposta
Foi provado que
se, e somente se,
.