Sejam A, B, C, A^{\prime}, B^{\prime} e C^{\prime} conjuntos quaisquer. Prove as afirmações a seguir.
A \cup B=A se, e somente se, B \subset A.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
A \cup B = A
se, e somente se, B \subset A.
O conteúdo usado será a definição de união de conjuntos, de subconjunto e de igualdade de conjuntos (que se prova pela dupla inclusão).

Passo 2

Prova de \bigl(B\subset A\bigr)\implies\bigl(A\cup B = A\bigr).
Suponha B \subset A,
isto é, \forall x\,(x\in B\to x\in A).
  1. Sempre vale A \subset A\cup B, pois se x\in A então x\in A\cup B por definição de união.
  2. Agora, seja x\in A\cup B. Então x\in A ou x\in B.
  • Se x\in A, já temos x\in A.
  • Se x\in B, pela hipótese B\subset A segue x\in A.
    Logo em todo caso x\in A, ou seja,
A\cup B \subset A.
Pela dupla inclusão concluímos A\cup B = A.

Passo 3

Prova de \bigl(A\cup B = A\bigr)\implies\bigl(B\subset A\bigr).
Suponha
A\cup B = A.
Então, para mostrar B\subset A, tome um elemento qualquer x\in B.
Como x\in B implica x\in A\cup B e isso é igual a A, segue x\in A.
Como x era arbitrário, \forall x\,(x\in B\to x\in A), ou seja, B\subset A.

Passo 4

Reunindo os dois resultados, temos mostrado que
A\cup B = A \quad\Longleftrightarrow\quad B\subset A,
como desejado.

Resposta

Foi provado que A\cup B = A se, e somente se, B\subset A.

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