Sejam A, B, C, A^{\prime}, B^{\prime} e C^{\prime} conjuntos quaisquer. Prove as afirmações a seguir.
Sejam B, B^{\prime} \subset A. Se B \subset B^{\prime}, então C_{A}\left(B^{\prime}\right) \subset C_{A}(B).

Passo 1

O enunciado nos coloca em teoria de conjuntos e pede para provar que, dados A e dois subconjuntos B e B' de A tais que B \subset B', vale
C_{A}(B') \subset C_{A}(B),
onde por C_{A}(X) entendemos o complemento de X em A, isto é,
C_{A}(X) = A \setminus X = \{\,x \in A \mid x \notin X\}.

Passo 2

Para mostrar uma inclusão de conjuntos usamos o método elemento a elemento. Sejam x um elemento arbitrário de C_{A}(B'). Então, por definição de complemento,
  1. x \in A,
  2. x \notin B'.
Como sabemos que B \subset B', todo elemento de B está em B'. A negação desse fato, aplicada a x, diz que
x \notin B' \quad\Longrightarrow\quad x \notin B.

Passo 3

Portanto, combinando:
  • x \in A e
  • x \notin B,
concluímos que x pertence a C_{A}(B)=A\setminus B. Como x foi um elemento genérico de C_{A}(B'), mostramos que
C_{A}(B') \subset C_{A}(B).

Resposta

C_{A}(B') \subset C_{A}(B).

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