Sejam
e
conjuntos quaisquer. Prove as afirmações a seguir.
Sejam
. Se
, então
.
Sejam
Passo 1
O enunciado nos coloca em teoria de conjuntos e pede para provar que, dados
e dois subconjuntos
e
de
tais que
, vale
onde por
entendemos o complemento de
em
, isto é,
Passo 2
Para mostrar uma inclusão de conjuntos usamos o método elemento a elemento. Sejam
um elemento arbitrário de
. Então, por definição de complemento,
-
, -
.
Como sabemos que
, todo elemento de
está em
. A negação desse fato, aplicada a
, diz que
Passo 3
Portanto, combinando:
-
e -
,
concluímos que
pertence a
. Como
foi um elemento genérico de
, mostramos que