Sejam
e
conjuntos quaisquer. Prove as afirmações a seguir.
Sejam
. Mostre que
.
Sejam
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, dado um conjunto
e dois subconjuntos
, que o complemento relativo de
em
coincide com a interseção dos complementos relativos de
e de
. O conteúdo aqui é teoria de conjuntos, em especial definição de complemento e as chamadas leis de De Morgan. Precisaremos usar a definição
e propriedades básicas de união, interseção e negação.
Passo 2
Começamos escrevendo em forma de extensão o lado esquerdo da igualdade:
Mas
é logicamente equivalente a “
e
”. Logo
Passo 3
Agora escrevemos o lado direito em forma de extensão. Temos
Pela definição de interseção,
Passo 4
Comparando as duas descrições em extensão, vemos que ambas descrevem exatamente o mesmo conjunto:
Portanto