Sejam A, B, C, A^{\prime}, B^{\prime} e C^{\prime} conjuntos quaisquer. Prove as afirmações a seguir.
Sejam B, B^{\prime} \subset A. Mostre que C_{A}\left(B \cup B^{\prime}\right)=C_{A}(B) \cap C_{A}\left(B^{\prime}\right).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, dado um conjunto A e dois subconjuntos B, B'\subset A, que o complemento relativo de B\cup B' em A coincide com a interseção dos complementos relativos de B e de B'. O conteúdo aqui é teoria de conjuntos, em especial definição de complemento e as chamadas leis de De Morgan. Precisaremos usar a definição
C_{A}(X)\;=\;A\setminus X\;=\;\{\,x\in A\mid x\notin X\}
e propriedades básicas de união, interseção e negação.

Passo 2

Começamos escrevendo em forma de extensão o lado esquerdo da igualdade:
C_{A}(B\cup B')=\{\,x\in A\mid x\notin B\cup B'\,\}.
Mas x\notin B\cup B' é logicamente equivalente a “ x\notin B e x\notin B'”. Logo
C_{A}(B\cup B')=\{\,x\in A\mid (x\notin B)\land(x\notin B')\,\}.

Passo 3

Agora escrevemos o lado direito em forma de extensão. Temos
C_A(B)\cap C_A(B') =\{\,x\in A\mid x\notin B\,\}\;\cap\;\{\,x\in A\mid x\notin B'\,\}.
Pela definição de interseção,
C_A(B)\cap C_A(B') =\{\,x\in A\mid (x\notin B)\land(x\notin B')\,\}.

Passo 4

Comparando as duas descrições em extensão, vemos que ambas descrevem exatamente o mesmo conjunto:
\{\,x\in A\mid (x\notin B)\land(x\notin B')\,\}.
Portanto
C_{A}(B\cup B')=C_A(B)\cap C_A(B').

Resposta

C_{A}(B\cup B')=C_A(B)\cap C_A(B').

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