Sejam
e
conjuntos quaisquer. Prove as afirmações a seguir.
Se
, então
e
. Além disso, se
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado define, para um conjunto-fonte
e
, o complemento
e pede para provar duas igualdades de De Morgan e uma implicação entre inclusões.
Passo 2
Prova de
.
Seja um elemento qualquer de
. Então
Seja
-
e -
, isto é, .
Da segunda parte segue. Logo
Reciprocamente, se
então
, e assim
. Portanto
e conclui-se a igualdade.
Passo 3
Prova de
.
Seja . Então
Seja
-
e -
, ou seja, ou .
Seentão ; se então . Em qualquer caso . Assim
A inclusão inversa segue de forma análoga: se
então
, e portanto
.
Passo 4
Prova de “se
então
”.
Suponha e tome
. Então
. Mas, se por absurdo
, teríamos
, contradizendo
. Logo não há como
, isto é,
. Como
era arbitrário em
, segue
.
Suponha
Resposta
e, se
, então
.