Sejam A, B, C, A^{\prime}, B^{\prime} e C^{\prime} conjuntos quaisquer. Prove as afirmações a seguir.
Se B, B^{\prime} \subset A, então C_{A}\left(C_{A}(B)\right)=B e C_{A}\left(B \cap B^{\prime}\right)=C_{A}(B) \cup C_{A}\left(B^{\prime}\right). Além disso, se C_{A}\left(B^{\prime}\right) \subset C_{A}(B), então B \subset B^{\prime}.

Passo 1

O enunciado define, para um conjunto-fonte A e B\subset A, o complemento
C_{A}(B)=A\setminus B
e pede para provar duas igualdades de De Morgan e uma implicação entre inclusões.

Passo 2

Prova de \;C_{A}\!\bigl(C_{A}(B)\bigr)=B.
Seja x um elemento qualquer de C_{A}\bigl(C_{A}(B)\bigr). Então
  1. x\in A e
  2. x\notin C_{A}(B), isto é, x\notin A\setminus B.
    Da segunda parte segue x\in B. Logo
C_{A}\bigl(C_{A}(B)\bigr)\subset B.
Reciprocamente, se x\in B\subset A então x\notin A\setminus B=C_{A}(B), e assim x\in A\setminus C_{A}(B)=C_{A}\bigl(C_{A}(B)\bigr). Portanto
B\subset C_{A}\bigl(C_{A}(B)\bigr)
e conclui-se a igualdade.

Passo 3

Prova de \;C_{A}(B\cap B')=C_{A}(B)\cup C_{A}(B').
Seja x\in C_{A}(B\cap B'). Então
  1. x\in A e
  2. x\notin B\cap B', ou seja, x\notin B ou x\notin B'.
    Se x\notin B então x\in A\setminus B=C_{A}(B); se x\notin B' então x\in C_{A}(B'). Em qualquer caso x\in C_{A}(B)\cup C_{A}(B'). Assim
C_{A}(B\cap B')\subset C_{A}(B)\cup C_{A}(B').
A inclusão inversa segue de forma análoga: se x\in C_{A}(B)\cup C_{A}(B') então x\notin B\cap B', e portanto x\in C_{A}(B\cap B').

Passo 4

Prova de “se \,C_{A}(B')\subset C_{A}(B) então B\subset B'”.
Suponha C_{A}(B')\subset C_{A}(B) e tome x\in B. Então x\notin C_{A}(B). Mas, se por absurdo x\notin B', teríamos x\in C_{A}(B')\subset C_{A}(B), contradizendo x\notin C_{A}(B). Logo não há como x\notin B', isto é, x\in B'. Como x era arbitrário em B, segue B\subset B'.

Resposta

C_{A}\bigl(C_{A}(B)\bigr)=B
C_{A}(B\cap B')=C_{A}(B)\cup C_{A}(B')
e, se \,C_{A}(B')\subset C_{A}(B), então B\subset B'.

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