Sejam
e
conjuntos quaisquer. Prove as afirmações a seguir.
Dados
, mostre que
e
.
Dados
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas igualdades em teoria de conjuntos, onde
é o universo e
.
Conteúdo: operações de união, interseção, diferença e complemento relativo a .
Ferramentas principais: distributividade da interseção sobre a união, o fato de que um conjunto interceptado com seu complemento dá o conjunto vazio, e definição de diferença em termos de interseção com complemento.
Conteúdo: operações de união, interseção, diferença e complemento relativo a
Ferramentas principais: distributividade da interseção sobre a união, o fato de que um conjunto interceptado com seu complemento dá o conjunto vazio, e definição de diferença em termos de interseção com complemento.
Passo 2
Prova de
Começamos usando a distributividade:
Mas
, pois não pode haver elemento que esteja simultaneamente em
e em seu complemento. Logo
o que era desejado.
Passo 3
Prova de
Pela definição de diferença e complemento relativo a
,
Mas
. Então
Como
, isso é exatamente
que completa a prova.