Sejam A, B, C, A^{\prime}, B^{\prime} e C^{\prime} conjuntos quaisquer. Prove as afirmações a seguir.
Dados B, B^{\prime} \subset A, mostre que B \cap\left(C_{A}(B) \cup B^{\prime}\right)=B \cap B^{\prime} e B-B^{\prime}=C_{A}\left(B^{\prime}\right)-C_{A}(B).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas igualdades em teoria de conjuntos, onde A é o universo e B,B'\subset A.
Conteúdo: operações de união, interseção, diferença e complemento relativo a A.
Ferramentas principais: distributividade da interseção sobre a união, o fato de que um conjunto interceptado com seu complemento dá o conjunto vazio, e definição de diferença em termos de interseção com complemento.

Passo 2

Prova de
B\cap\bigl(C_{A}(B)\cup B'\bigr)=B\cap B'.
Começamos usando a distributividade:
B\cap\bigl((A\setminus B)\cup B'\bigr) =(B\cap (A\setminus B))\;\cup\;(B\cap B').
Mas B\cap (A\setminus B)=\varnothing, pois não pode haver elemento que esteja simultaneamente em B e em seu complemento. Logo
(B\cap (A\setminus B))\cup(B\cap B') =\varnothing\cup(B\cap B')=B\cap B',
o que era desejado.

Passo 3

Prova de
B - B' = C_{A}(B') - C_{A}(B).
Pela definição de diferença e complemento relativo a A,
C_{A}(B')-C_{A}(B) =(A\setminus B')\setminus (A\setminus B) =(A\setminus B')\;\cap\;\bigl(A\setminus(A\setminus B)\bigr).
Mas A\setminus(A\setminus B)=B. Então
(C_{A}(B')-C_{A}(B)) =(A\setminus B')\cap B.
Como B\subset A, isso é exatamente
\{\,x\in B : x\notin B'\} =B\setminus B',
que completa a prova.

Resposta

\displaystyle B\cap\bigl(C_{A}(B)\cup B'\bigr)=B\cap B' \displaystyle B - B' = C_{A}(B') - C_{A}(B)

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