Sejam A, B, C, A^{\prime}, B^{\prime} e C^{\prime} conjuntos quaisquer. Prove as afirmações a seguir.
(A \times B) \cap(C \times D)=(A \cap C) \times(B \cap D)=(A \times D) \cap(C \times B).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar igualdade entre três conjuntos construídos a partir de produtos cartesianos e interseções. O conteúdo aqui é a definição de produto cartesiano
A\times B=\{(x,y)\mid x\in A,\;y\in B\}
e a definição de interseção
X\cap Y=\{z\mid z\in X\;\text{e}\;z\in Y\}.
Vamos usar prova por dupla inclusão: mostrar que cada lado está contido no outro.

Passo 2

Provar (A\times B)\cap(C\times D)=(A\cap C)\times(B\cap D).
(⊆) Seja (x,y)\in(A\times B)\cap(C\times D). Então
(x,y)\in A\times B\quad\text{e}\quad(x,y)\in C\times D,
isto é,
x\in A,\;y\in B,\;x\in C,\;y\in D.
Logo x\in A\cap C e y\in B\cap D, o que implica
(x,y)\in (A\cap C)\times(B\cap D).
(⊇) Seja (x,y)\in (A\cap C)\times(B\cap D). Então
x\in A\cap C,\;y\in B\cap D
isto é,
x\in A,\;x\in C,\;y\in B,\;y\in D.
Portanto (x,y)\in A\times B e (x,y)\in C\times D, ou seja
(x,y)\in(A\times B)\cap(C\times D).
Com isso concluímos
(A\times B)\cap(C\times D)=(A\cap C)\times(B\cap D).

Passo 3

Provar (A\times D)\cap(C\times B)=(A\cap C)\times(D\cap B).
O mesmo argumento de dupla inclusão vale:
  • Se (x,y)\in(A\times D)\cap(C\times B) então
    x\in A,\;y\in D,\;x\in C,\;y\in B,
    logo x\in A\cap C,\;y\in D\cap B e
    (x,y)\in(A\cap C)\times(D\cap B).
  • Reciprocamente, se (x,y)\in(A\cap C)\times(D\cap B) então
    x\in A,\;x\in C,\;y\in D,\;y\in B,
    logo (x,y)\in A\times D e (x,y)\in C\times B,
    isto é (x,y)\in(A\times D)\cap(C\times B).
Como (D\cap B)=(B\cap D), segue
(A\times D)\cap(C\times B)=(A\cap C)\times(B\cap D).

Resposta

(A\times B)\cap(C\times D)=(A\cap C)\times(B\cap D) =(A\times D)\cap(C\times B).

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