Sejam
e
conjuntos quaisquer. Prove as afirmações a seguir.
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar igualdade entre três conjuntos construídos a partir de produtos cartesianos e interseções. O conteúdo aqui é a definição de produto cartesiano
e a definição de interseção
Vamos usar prova por dupla inclusão: mostrar que cada lado está contido no outro.
Passo 2
Provar
.
(⊆) Seja
. Então
isto é,
Logo
e
, o que implica
(⊇) Seja
. Então
isto é,
Portanto
e
, ou seja
Com isso concluímos
Passo 3
Provar
.
O mesmo argumento de dupla inclusão vale:
- Se
então
,
logoe
. - Reciprocamente, se
então
,
logoe ,
isto é.
Como
, segue