Verifique se cada uma das seguintes relações são de equivalência.
T=\{(a, b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}: b-a é par \}.

Passo 1

O enunciado define em \mathbb{Z} a relação
T = \{(a,b)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\mid b - a \text{ é par}\}.é
Queremos verificar se T é reflexiva, simétrica e transitiva, isto é, se é uma relação de equivalência.

Passo 2

Verificar a reflexividade: para todo a\in\mathbb{Z}, temos
a - a = 0,
e 0 é número par. Logo (a,a)\in T para todo a, o que mostra que T é reflexiva.

Passo 3

Verificar a simetria: suponha (a,b)\in T. Então b - a é par, ou seja, existe k\in\mathbb{Z} tal que b - a = 2k. Daí
a - b = -(b - a) = -2k = 2(-k),
que também é par. Logo (b,a)\in T, e T é simétrica.

Passo 4

Verificar a transitividade: suponha (a,b)\in T e (b,c)\in T. Então
b - a = 2k,\quad c - b = 2m
para alguns k,m\in\mathbb{Z}. Somando as duas igualdades,
c - a = (c - b) + (b - a) = 2m + 2k = 2(m+k),
que é par. Logo (a,c)\in T e T é transitiva.

Resposta

A relação T é de equivalência.

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