Sejam a, b, c termos consecutivos, nesta ordem, de uma Progressão Aritmética de razão r tais que a \leqslant b \leqslant c. Se a, b e c são as medidas dos lados de um triângulo retângulo, determine a medida de c, sabendo que:
r=3

Passo 1

O enunciado dá a,b,c como termos consecutivos de uma PA de razão r=3, com a\le b\le c, e afirma que são as medidas dos lados de um triângulo retângulo. Logo, o maior, c, é a hipotenusa. Para resolver vamos usar a expressão dos termos de PA e o Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Expressamos em função de a:
b = a + r = a + 3,
c = a + 2r = a + 6.

Passo 3

Pelo Teorema de Pitágoras temos
a^2 + b^2 = c^2.
Substituindo b e c em função de a,
a^2 + (a+3)^2 = (a+6)^2.

Passo 4

Desenvolvendo a equação:
a^2 + a^2 + 6a + 9 = a^2 + 12a + 36
que reduz a
a^2 - 6a - 27 = 0.
A solução positiva é
a = \frac{6 + 12}{2} = 9.

Passo 5

Então
b = a + 3 = 12,
c = a + 6 = 15.
E, de fato, (9,12,15) forma um triângulo retângulo.

Resposta

15

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