Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Mostre que:
Se(A cup B)=(A cup C) e (A cap B)=(A cap C), então B=C.
  • Verifique, através de contra-exemplo(s), que apenas uma das condições (A cup B)=(A cup C) e (A cap B)=(A cap C) não é suficiente para que a conclusão B=C seja verdadeira.

Passo 1

Beleza, o exercício é de Teoria de Conjuntos: temos três conjuntos quaisquer (Acup B)=(Acup C) e (Acap B)=(Acap C), e queremos provar que, se
então obrigatoriamente . Além disso, precisamos mostrar por contra-exemplos que ter só uma dessas igualdades não garante . Para resolver vamos usar:
  • Definição de união e interseção.
  • Critério de igualdade de conjuntos: mostrar e .

Passo 2

Prova de Acup C = Acup B e Acap C = Acap B quando as duas igualdades valem.
  1. Mostrar :
    • Pegue um elemento qualquer .
    • Como , também .
    • Mas , então .
    • Logo ou .
      • Se , beleza, já tá em .
      • Se , então está em (pois também está em ).
        Como , vem , daí .
    • Concluímos em todo caso, logo .
  2. Mostrar é análogo: trocamos por e seguimos o mesmo raciocínio usando
Assim, .
  1. Daí, por definição de igualdade de conjuntos, vem .

Passo 3

Contra-exemplo mostrando que só A=1,2,3, B=1, C=2 não basta:
Escolha
  • A união dá
    e , logo são iguais.
  • Mas a interseção dá
    e , que são diferentes.
    E claramente .

Passo 4

Contra-exemplo mostrando que só A=varnothing, B=1, C=2 não basta:
Escolha
  • A interseção dá
    e , são iguais.
  • Mas a união dá
    e , que são diferentes.
    E de novo .

Resposta

Mostramos que, se e , então .
Porém, cada igualdade isolada não garante , como ficam claros nos contra-exemplos acima.

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