Sejam
e
três conjuntos quaisquer. Mostre que:
e
, então
.
- Verifique, através de contra-exemplo(s), que apenas uma das condições
e
não é suficiente para que a conclusão
seja verdadeira.
Passo 1
Beleza, o exercício é de Teoria de Conjuntos: temos três conjuntos quaisquer
e queremos provar que, se
então obrigatoriamente
. Além disso, precisamos mostrar por contra-exemplos que ter só uma dessas igualdades não garante
. Para resolver vamos usar:
- Definição de união e interseção.
- Critério de igualdade de conjuntos: mostrar
e .
Passo 2
Prova de
quando as duas igualdades valem.
-
Mostrar
: - Pegue um elemento qualquer
. - Como
, também . - Mas
, então . - Logo
ou . - Se
, beleza, já tá em . - Se
, então está em (pois também está em ).
Como, vem , daí .
- Se
- Concluímos
em todo caso, logo .
- Pegue um elemento qualquer
-
Mostrar
é análogo: trocamos por e seguimos o mesmo raciocínio usando
Assim,
.
- Daí, por definição de igualdade de conjuntos, vem
.
Passo 3
Contra-exemplo mostrando que só
não basta:
Escolha
Escolha
- A união dá
e , logo são iguais. - Mas a interseção dá
e , que são diferentes.
E claramente.
Passo 4
Contra-exemplo mostrando que só
não basta:
Escolha
Escolha
- A interseção dá
e , são iguais. - Mas a união dá
e , que são diferentes.
E de novo.
Resposta
Mostramos que, se
e
, então
.
Porém, cada igualdade isolada não garante , como ficam claros nos contra-exemplos acima.
Porém, cada igualdade isolada não garante