Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Mostre que:
Se(A cap B)-B=A, então A cap B=varnothing.

Passo 1

Beleza, vamos começar recapitulando o que o exercício pede.
Enunciado: “Se Acap B = ,x : xin A e xin B , então mostrar que X - Y = ,x : xin X e xnotin Y .”
Matéria: operações com conjuntos — especialmente interseção e diferença.
O que vamos usar:
  1. Definição de interseção:
  1. Definição de diferença:
  1. Uma prova por contradição, mostrando que se existisse algum elemento em a hipótese “ ” daria problema.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa .
Pegar um elemento em quer dizer:
  • (logo e ),
  • e ao mesmo tempo .
    Mas isso é impossível de ser verdade para o mesmo ! Então algo interessante vai acontecer.

Passo 3

Prova por contradição:
  1. Suponha, para chegar a uma contradição, que .
  2. Então existe um elemento tal que .
  3. Daí temos e .
  4. Pela hipótese , esse precisa pertencer a (já que está em ).
  5. Mas para estar em , teria que satisfazer “ ” e “ ”.
  6. Logo e ao mesmo tempo — contradição!
  7. A única saída é que nossa suposição estava errada: não pode haver nenhum .

Resposta

Portanto, concluímos que .

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