Sejam
e
três conjuntos quaisquer. Mostre que:
, então
.
Passo 1
Beleza, vamos começar recapitulando o que o exercício pede.
Enunciado: “Se , então mostrar que
.”
Matéria: operações com conjuntos — especialmente interseção e diferença.
O que vamos usar:
Enunciado: “Se
Matéria: operações com conjuntos — especialmente interseção e diferença.
O que vamos usar:
- Definição de interseção:
- Definição de diferença:
- Uma prova por contradição, mostrando que se existisse algum elemento em
a hipótese “ ” daria problema.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa
.
Pegar um elemento em
quer dizer:
Pegar um elemento
-
(logo e ), - e ao mesmo tempo
.
Mas isso é impossível de ser verdade para o mesmo! Então algo interessante vai acontecer.
Passo 3
Prova por contradição:
- Suponha, para chegar a uma contradição, que
. - Então existe um elemento
tal que . - Daí temos
e . - Pela hipótese
, esse precisa pertencer a (já que está em ). - Mas para estar em
, teria que satisfazer “ ” e “ ”. - Logo
e ao mesmo tempo — contradição! - A única saída é que nossa suposição estava errada: não pode haver nenhum
.
Resposta
Portanto, concluímos que
.