Sejam A B C um triângulo e M e N os pontos médios dos lados A B e A C respectivamente. Prove que o segmento M N é paralelo ao lado B C e que seu comprimento é a metade do comprimento de B C.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o triângulo ABC, com M ponto médio de AB e N ponto médio de AC. O problema pede para mostrar que o segmento MN é paralelo a BC e que seu comprimento é metade do de BC. Vamos usar geometria vetorial, representando cada vértice por seu vetor posição relativo a um mesmo ponto de referência.

Passo 2

Escolhemos A como origem dos vetores. Definimos
\vec{AB} = \vec b, \quad \vec{AC} = \vec c.
Como M e N são pontos médios de AB e AC, vale
\vec{AM} = \tfrac12\,\vec{AB} = \tfrac12\,\vec b, \quad \vec{AN} = \tfrac12\,\vec{AC} = \tfrac12\,\vec c.

Passo 3

O vetor que vai de M a N é
\vec{MN} = \vec{AN} - \vec{AM} = \tfrac12\,\vec c \;-\; \tfrac12\,\vec b = \tfrac12\bigl(\vec c - \vec b\bigr).
Por outro lado, o vetor de B a C é
\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB} = \vec c - \vec b.

Passo 4

Comparando, vemos que
\vec{MN} = \tfrac12\,\vec{BC}.
Isso mostra duas coisas:
  1. \vec{MN} é múltiplo escalar de \vec{BC}, logo MN\parallel BC.
  2. \bigl|\vec{MN}\bigr| = \tfrac12\,\bigl|\vec{BC}\bigr|, logo o comprimento de MN é metade do de BC.

Resposta

Fica demonstrado que
MN \parallel BC \quad\text{e}\quad MN = \tfrac12\,BC.

Exercícios relacionados