Considere os vetores vec{a}=\vec{\imath}+2 \vec{\jmath}-3 \vec{\kappa} e vec{b}=2 \vec{\imath}+\vec{\jmath}-2 \vec{\kappa}. Determine as coordenadas do versor dos vetores abaixo:
5 \vec{a}+4 \vec{b}

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{a}=\vec{\imath}+2\vec{\jmath}-3\vec{\kappa} e \vec{b}=2\vec{\imath}+\vec{\jmath}-2\vec{\kappa} e pede o versor de 5\vec{a}+4\vec{b}. Para resolver, vamos usar operações com vetores em \mathbb{R}^3: combinação linear e normalização.

Passo 2

Calculamos o vetor \vec{v}=5\vec{a}+4\vec{b}. Substituindo as componentes:
\vec{v}=5(1,2,-3)+4(2,1,-2)=(5+8,\,10+4,\,-15-8)=(13,14,-23).

Passo 3

A norma de \vec{v}=(13,14,-23) é
\|\vec{v}\|=\sqrt{13^2+14^2+(-23)^2}=\sqrt{169+196+529}=\sqrt{894}.

Passo 4

O versor de \vec{v} é dado por \vec{v}/\|\vec{v}\|. Portanto,
\hat{u}=\Bigl(\frac{13}{\sqrt{894}},\,\frac{14}{\sqrt{894}},\,-\frac{23}{\sqrt{894}}\Bigr).

Resposta

\displaystyle\Bigl(\frac{13}{\sqrt{894}},\,\frac{14}{\sqrt{894}},\,-\frac{23}{\sqrt{894}}\Bigr)

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