Sejam A, B conjuntos. Mostre que:
Utilize o primeiro item para mostrar que a união de conjuntos fechados é fechado.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a união de dois conjuntos fechados em um espaço topológico X também é fechada, usando o resultado de De Morgan (item 1). Vamos precisar da definição de conjunto fechado (complemento aberto) e da propriedade de que interseção finita de abertos é aberta.

Passo 2

Pela lei de De Morgan (item 1), temos que o complemento da união é a interseção dos complementos:
(Acup B)^c = A^c cap B^c

Passo 3

Como A e B são fechados, seus complementos A^c e B^c são abertos. A interseção finita de conjuntos abertos é aberta. Logo,
A^c cap B^c
é aberto. Portanto (Acup B)^c é aberto, o que implica que Acup B é fechado.

Resposta

Acup B é fechado.

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