Sejam A, B conjuntos. Mostre que:
Utilize o primeiro item para mostrar que a união de conjuntos fechados é fechado.
Utilize o primeiro item para mostrar que a união de conjuntos fechados é fechado.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a união de dois conjuntos fechados em um espaço topológico
também é fechada, usando o resultado de De Morgan (item 1). Vamos precisar da definição de conjunto fechado (complemento aberto) e da propriedade de que interseção finita de abertos é aberta.
Passo 2
Pela lei de De Morgan (item 1), temos que o complemento da união é a interseção dos complementos:
Passo 3
Como
e
são fechados, seus complementos
e
são abertos. A interseção finita de conjuntos abertos é aberta. Logo,
é aberto. Portanto
é aberto, o que implica que
é fechado.