Calcular a área da região limitada pelas curvas
y=1(x-1)(x-4), y=1(1-x)(x-4)
de x=2 até x=3.

Passo 1

Vamos calcular a área da região limitada pelas curvas $ y=\frac{1}{(x-1)(x-4)} $ e $ y=\frac{1}{(1-x)(x-4)} $ no intervalo de $ x=2 $ até $ x=3 $. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente o cálculo de áreas entre curvas utilizando integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as duas funções que definem as curvas:
y = 1(x-1)(x-4)
y = 1(1-x)(x-4)
Perceba que a segunda função pode ser reescrita como:
y = 1-(x-1)(x-4) = -1(x-1)(x-4)
Então, temos que:
y2 = -y1

Passo 3

Como as duas funções são opostas, a diferença entre elas será:
y1 - y2 = 1(x-1)(x-4) - (-1(x-1)(x-4)) = 2(x-1)(x-4)
A área entre as curvas será o valor absoluto dessa diferença integrado de $ x=2 $ a $ x=3 $:
x=2 Á

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do módulo:
| 2(x-1)(x-4) | = 2|(x-1)(x-4)|
No intervalo de $ x=2 $ a $ x=3 $, os denominadores $ (x-1) $ e $ (x-4) $ são negativos e positivos, respectivamente:
  • Para $ x=2 $:
    x=2
  • Para $ x=3 $:
    x=3
Portanto, $ (x-1)(x-4) < 0 $ no intervalo, e o valor absoluto será:
(x-1)

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
Área = integral2^3 2(4 - x)(x - 1) dx Á
Podemos simplificar o denominador:
(4 - x)(x - 1) = -(x - 4)(x - 1)
Então,
2(4 - x)(x - 1) = -2(x - 1)(x - 4)

Passo 6

Para integrar $ \frac{1}{(x - 1)(x - 4)} $, usamos a técnica de frações parciais:
1(x - 1)(x - 4)
Multiplicando ambos os lados por $ (x - 1)(x - 4) $:
1(x - 1)(x - 4) = Ax - 1 + Bx - 4
Para encontrar $ A $ e $ B $:
  • Coloque $ x = 1 $:
    (x - 1)(x - 4)
  • Coloque $ x = 4 $:
    1 = A(x - 4) + B(x - 1)
Então,
A

Passo 7

Voltando à integral:
Área = -2 integral2^3 ( -13cdot1x - 1 + 13cdot1x - 4 ) dx Á
Simplificando:
Área = 23 integral2^3 ( 1x - 1 - 1x - 4 ) dx Á

Passo 8

Integrando cada termo:
integral 1x - a dx = ln|x - a|
Então,
Área = 23 [ ln|x - 1| - ln|x - 4| ]2^3 Á

Passo 9

Substituindo os limites de integração:
Para $ x = 3 $:
x = 3
Para $ x = 2 $:
ln|3 - 1| - ln|3 - 4| = ln 2 - ln 1 = ln 2
Portanto,
x = 2 Á

Resposta

A área da região limitada pelas curvas de $ x=2 $ a $ x=3 $ é $ \frac{4}{3} \ln 2 $ unidades de área.

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