Calcular a área da região limitada pelas curvas
de
até
.
Passo 1
Vamos calcular a área da região limitada pelas curvas $ y=\frac{1}{(x-1)(x-4)} $ e $ y=\frac{1}{(1-x)(x-4)} $ no intervalo de $ x=2 $ até $ x=3 $. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente o cálculo de áreas entre curvas utilizando integrais definidas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as duas funções que definem as curvas:
Perceba que a segunda função pode ser reescrita como:
Então, temos que:
Passo 3
Como as duas funções são opostas, a diferença entre elas será:
A área entre as curvas será o valor absoluto dessa diferença integrado de $ x=2 $ a $ x=3 $:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro do módulo:
No intervalo de $ x=2 $ a $ x=3 $, os denominadores $ (x-1) $ e $ (x-4) $ são negativos e positivos, respectivamente:
-
Para $ x=2 $:
x=2 -
Para $ x=3 $:
x=3
Portanto, $ (x-1)(x-4) < 0 $ no intervalo, e o valor absoluto será:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral:
Podemos simplificar o denominador:
Então,
Passo 6
Para integrar $ \frac{1}{(x - 1)(x - 4)} $, usamos a técnica de frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por $ (x - 1)(x - 4) $:
Para encontrar $ A $ e $ B $:
-
Coloque $ x = 1 $:
(x - 1)(x - 4) -
Coloque $ x = 4 $:
1 = A(x - 4) + B(x - 1)
Então,
Passo 7
Voltando à integral:
Simplificando:
Passo 8
Integrando cada termo:
Então,
Passo 9
Substituindo os limites de integração:
Para $ x = 3 $:
Para $ x = 2 $:
Portanto,
Resposta
A área da região limitada pelas curvas de $ x=2 $ a $ x=3 $ é $ \frac{4}{3} \ln 2 $ unidades de área.