Sejam
e
dois vectores de
. Determinar vectores
e
em
tais que
é paralelo a
e
ortogonal a
.
Passo 1
O enunciado pede para escrever o vetor
como soma de um vetor
paralelo a
e de um vetor
ortogonal a
. O conteúdo principal é projeção de um vetor sobre outro num espaço com produto escalar em
. Vamos usar a definição de projeção ortogonal.
Passo 2
A projeção ortogonal de
sobre
é dada por
onde o produto escalar em
é
.
Passo 3
Calculamos os produtos escalares
Logo o fator escalar é
.
Passo 4
Substituindo em
, temos
Passo 5
O vetor ortogonal
é o que falta para chegar em
, ou seja
Passo 6
Para conferir que
é ortogonal a
, calculamos
Como
,
é de fato ortogonal a
.