Sejam
e
duas matrizes quadradas de ordem
. Definimos o produto de Jordan como
. Analise as afirmações:
I.
;
II.
;
III.
;
IV.
;
V.
;
VI.
.
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes quadradas de ordem
e define o produto de Jordan por
As afirmações a analisar são:
O que se pede é verificar, uma por uma, se essas afirmações são verdadeiras ou falsas.
Passo 2
Análise da afirmação I. Quero ver se
.
Começo pela definição e escrevo:
Como a soma é comutativa (ou seja,
), posso reescrever:
Portanto a igualdade vale sempre. Conclusão: a afirmação I é verdadeira.
Passo 3
Análise da afirmação II. Quero ver se
.
Uso distributividade da multiplicação matricial em relação à soma. Expando o lado esquerdo:
Aplicando distributividade dentro dos parênteses:
Logo
Agrupando termos:
Ou seja, o resultado correto é
A afirmativa dada no enunciado é
. Comparando, vemos que isso exigiria
para ser verdade em geral, o que não é garantido. Para deixar mais claro, apresento um contraexemplo numérico simples (matrizes
):
Escolho
Calculo (usando multiplicação matricial):
Então
enquanto
que é diferente de
. Assim II é falsa.]
Passo 4
Análise da afirmação III. Quero ver se
, onde
é a matriz nula.
Aplicando a definição:
Mas
e
(qualquer matriz multiplicada pela matriz nula dá a matriz nula). Então
Pelo argumento simétrico,
Portanto a afirmação III é verdadeira.
Passo 5
Análise da afirmação IV. Quero ver se
, onde
é a matriz identidade.
Uso a definição:
Mas
e
(a identidade deixa qualquer matriz inalterada), então
Analogamente
. Portanto a afirmação IV é verdadeira.
Passo 6
Análise da afirmação V. Quero ver se
.
Primeiro uso a propriedade importante da transposta: para quaisquer matrizes compatíveis,
. Explico rapidamente: a transposta troca linhas por colunas, o que inverte a ordem no produto. Usando isso,
Aplicando
a cada termo:
Mas a soma é comutativa, então
Portanto V é verdadeira.
Passo 7
Análise da afirmação VI. Quero ver se
. Aqui
é um inteiro positivo (potências de matrizes são definidas por multiplicação repetida).
Primeiro observo que
Então
é exatamente
. Agora elevando ambos os lados à potência
(produto de matrizes repetido),
Usando regra de potências de matrizes (para inteiros positivos)
. Assim a afirmação VI é verdadeira.
Resposta
I: Verdadeira
II: Falsa
III: Verdadeira
IV: Verdadeira
V: Verdadeira
VI: Verdadeira
II: Falsa
III: Verdadeira
IV: Verdadeira
V: Verdadeira
VI: Verdadeira