Sejam A e B duas matrizes quadradas de ordem \mathbf{n}. Definimos o produto de Jordan como A o B=\frac{1}{2}(A B+B A). Analise as afirmações:
I. \mathrm{AoB}=\mathrm{BoA};
II. A o(B+C)=A o C+B o C;
III. 0 \mathrm{oA}=\mathrm{AoO}=0;
IV. \mathrm{loA}=\mathrm{Aol}=\mathrm{A};
V. (\mathrm{AoB})^{\top}=\mathrm{A}^{\top} \mathrm{oB}^{\top};
VI. (A \circ A)^{n}=A^{2 n}.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes quadradas de ordem n e define o produto de Jordan por
A \circ B = \frac{1}{2}(AB + BA).
As afirmações a analisar são:
\text{I. } A\circ B = B\circ A;
\text{II. } A\circ(B+C) = A\circ C + B\circ C;
\text{III. } 0\circ A = A\circ 0 = 0;
\text{IV. } I\circ A = A\circ I = A;
\text{V. }(A\circ B)^{\top} = A^{\top}\circ B^{\top};
\text{VI. }(A\circ A)^{n} = A^{2n}.
O que se pede é verificar, uma por uma, se essas afirmações são verdadeiras ou falsas.

Passo 2

Análise da afirmação I. Quero ver se A\circ B = B\circ A.
Começo pela definição e escrevo:
A\circ B = \frac{1}{2}(AB+BA).
Como a soma é comutativa (ou seja, AB+BA = BA+AB), posso reescrever:
\frac{1}{2}(AB+BA) = \frac{1}{2}(BA+AB) = B\circ A.
Portanto a igualdade vale sempre. Conclusão: a afirmação I é verdadeira.

Passo 3

Análise da afirmação II. Quero ver se A\circ(B+C) = A\circ C + B\circ C.
Uso distributividade da multiplicação matricial em relação à soma. Expando o lado esquerdo:
A\circ(B+C) = \frac{1}{2}\big(A(B+C) + (B+C)A\big).
Aplicando distributividade dentro dos parênteses:
A(B+C) = AB + AC,\qquad (B+C)A = BA + CA.
Logo
A\circ(B+C) = \frac{1}{2}(AB+AC+BA+CA).
Agrupando termos:
A\circ(B+C) = \frac{1}{2}(AB+BA) + \frac{1}{2}(AC+CA) = A\circ B + A\circ C.
Ou seja, o resultado correto é
A\circ(B+C) = A\circ B + A\circ C.
A afirmativa dada no enunciado é A\circ(B+C) = A\circ C + B\circ C. Comparando, vemos que isso exigiria A\circ B = B\circ C para ser verdade em geral, o que não é garantido. Para deixar mais claro, apresento um contraexemplo numérico simples (matrizes 2\times2):
Escolho
A=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix}.
Calculo (usando multiplicação matricial):
A\circ B=\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}0&1\\[3pt]0&0\end{pmatrix},\qquad A\circ C=\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}0&0\\[3pt]1&0\end{pmatrix},
B\circ C=\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}1&0\\[3pt]0&1\end{pmatrix}=\tfrac{1}{2}I.
Então
A\circ(B+C)=\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}0&1\\[3pt]1&0\end{pmatrix},
enquanto
A\circ C + B\circ C = \tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}0&0\\[3pt]1&0\end{pmatrix} + \tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}1&0\\[3pt]0&1\end{pmatrix} = \tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}1&0\\[3pt]1&1\end{pmatrix},
que é diferente de A\circ(B+C). Assim II é falsa.]

Passo 4

Análise da afirmação III. Quero ver se 0\circ A = A\circ 0 = 0, onde 0 é a matriz nula.
Aplicando a definição:
0\circ A = \frac{1}{2}(0\cdot A + A\cdot 0).
Mas 0\cdot A = 0 e A\cdot 0 = 0 (qualquer matriz multiplicada pela matriz nula dá a matriz nula). Então
0\circ A = \frac{1}{2}(0+0) = 0.
Pelo argumento simétrico,
A\circ 0 = \frac{1}{2}(A\cdot 0 + 0\cdot A) = 0.
Portanto a afirmação III é verdadeira.

Passo 5

Análise da afirmação IV. Quero ver se I\circ A = A\circ I = A, onde I é a matriz identidade.
Uso a definição:
I\circ A = \frac{1}{2}(IA + AI).
Mas IA = A e AI = A (a identidade deixa qualquer matriz inalterada), então
I\circ A = \frac{1}{2}(A + A) = A.
Analogamente A\circ I = A. Portanto a afirmação IV é verdadeira.

Passo 6

Análise da afirmação V. Quero ver se (A\circ B)^{\top} = A^{\top}\circ B^{\top}.
Primeiro uso a propriedade importante da transposta: para quaisquer matrizes compatíveis, (XY)^{\top} = Y^{\top} X^{\top}. Explico rapidamente: a transposta troca linhas por colunas, o que inverte a ordem no produto. Usando isso,
(A\circ B)^{\top} = \left(\frac{1}{2}(AB+BA)\right)^{\top} = \frac{1}{2}\big((AB)^{\top} + (BA)^{\top}\big).
Aplicando (XY)^{\top} = Y^{\top}X^{\top} a cada termo:
\frac{1}{2}\big((AB)^{\top} + (BA)^{\top}\big) = \frac{1}{2}\big(B^{\top}A^{\top} + A^{\top}B^{\top}\big).
Mas a soma é comutativa, então
\frac{1}{2}\big(B^{\top}A^{\top} + A^{\top}B^{\top}\big) = \frac{1}{2}\big(A^{\top}B^{\top} + B^{\top}A^{\top}\big) = A^{\top}\circ B^{\top}.
Portanto V é verdadeira.

Passo 7

Análise da afirmação VI. Quero ver se (A\circ A)^{n} = A^{2n}. Aqui n é um inteiro positivo (potências de matrizes são definidas por multiplicação repetida).
Primeiro observo que
A\circ A = \frac{1}{2}(AA + AA) = \frac{1}{2}(2A^2) = A^2.
Então A\circ A é exatamente A^2. Agora elevando ambos os lados à potência n (produto de matrizes repetido),
(A\circ A)^{n} = (A^2)^{n}.
Usando regra de potências de matrizes (para inteiros positivos) (A^2)^{n} = A^{2n}. Assim a afirmação VI é verdadeira.

Resposta

I: Verdadeira
II: Falsa
III: Verdadeira
IV: Verdadeira
V: Verdadeira
VI: Verdadeira

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