Com relação à matriz A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1 \\\\ -1 & -1 & -1 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), a alternativa correta é:
A) \mathrm{A}^{2010}=\mathrm{A}
B) A^{2011}=A
C) \mathrm{A}^{2011}=1
D) A^{2012}=A
E) \mathrm{A}^{2012}=\mathrm{I}

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 1 \\\\ -1 & -1 & -1 \\\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
e pergunta qual das alternativas é correta:
A) \mathrm{A}^{2010}=\mathrm{A}
B) A^{2011}=A
C) \mathrm{A}^{2011}=1 (entendendo 1 como a matriz identidade)
D) A^{2012}=A
E) \mathrm{A}^{2012}=\mathrm{I}

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico de A. Escrevemos A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}-\lambda & 1 & 1 \\\\ -1 & -1-\lambda & -1 \\\\ 0 & 0 & 1-\lambda\end{pmatrix}.
Como a terceira linha tem zeros nas duas primeiras entradas, a determinante fatora facilmente pelo elemento (3,3). Assim
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)\cdot\det\begin{pmatrix}-\lambda & 1 \\\\ -1 & -1-\lambda\end{pmatrix}.
Agora calculamos o determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}-\lambda & 1 \\\\ -1 & -1-\lambda\end{pmatrix}=(-\lambda)(-1-\lambda)-1\cdot(-1)=\lambda(1+\lambda)+1=\lambda^2+\lambda+1.
Portanto o polinômio característico é
p(\lambda)=\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(\lambda^2+\lambda+1).

Passo 3

As raízes do polinômio p(\lambda) são \lambda=1 (da fator (1-\lambda)) e as raízes da quadrática \lambda^2+\lambda+1=0. Essas últimas são
\lambda=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2},
que são exatamente as raízes complexas primitivas da unidade de ordem 3 (denotadas geralmente por \omega e \omega^2), satisfazendo \omega^3=1 e \omega\neq1.

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema de Cayley–Hamilton: toda matriz satisfaz seu polinômio característico, isto é p(A)=0. Escrevendo p(\lambda)=(1-\lambda)(\lambda^2+\lambda+1) e trocando \lambda por A obtemos
(1-A)(A^2+A+I)=0.
Multiplicando os fatores (e atenção na ordem, aqui os fatores comutam porque são polinômios em A) temos
(1-A)(A^2+A+I)=A^3-I=0.
Logo
A^3=I.
Explicando em palavras: o polinômio caracteriza que A satisfaz a equação A^3=I, ou seja, A é uma matriz cuja terceira potência é a identidade.

Passo 5

A equação A^3=I implica que as potências de A são periódicas com período 3. Mais precisamente, para qualquer inteiro positivo n vale
A^n = A^{n \bmod 3},
onde interpretamos A^0=I, A^1=A, A^2=A^2.
Agora reduzimos os expoentes das alternativas módulo 3:
  • 2010\mod 3: como 2010=3\cdot670, temos 2010\equiv0\pmod{3}. Então A^{2010}=A^0=I.
  • 2011\mod 3: 2011=2010+1 então 2011\equiv1\pmod{3}. Logo A^{2011}=A^1=A.
  • 2012\mod 3: 2012=2010+2 então 2012\equiv2\pmod{3}. Logo A^{2012}=A^2 (não é A nem I, salvo se A^2 fosse igual a um deles, o que não é o caso pois A^2\neq A e A^2\neq I porque só A^3=I).

Passo 6

Agora verificamos cada alternativa com os resultados do passo anterior:
A) Afirma A^{2010}=A. Mas calculamos A^{2010}=I, então A) é falsa.
B) Afirma A^{2011}=A. Calculamos A^{2011}=A, então B) é verdadeira.
C) Afirma A^{2011}=1 (identidade). Mas A^{2011}=A\neq I, então C) é falsa.
D) Afirma A^{2012}=A. Mas A^{2012}=A^2\neq A, então D) é falsa.
E) Afirma A^{2012}=I. Mas A^{2012}=A^2\neq I, então E) é falsa.

Resposta

B) A^{2011}=A

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