Q18: Considere os subespaços de \mathbb{R}^{3} :
\begin{gathered} H=\operatorname{span}\{(-1,1,-2),(-3,2,-5)\} \mathrm{e} \\\ M=\operatorname{span}\{(-1,2,1)\} \end{gathered}
Encontre o único vetor \vec{x} \in M^{\perp} \cap H da forma \vec{x}=\left(-2, x_{2}, x_{3}\right). O valor de x_{3} é:
(A) -3
(B) -2
(C) -1
(D) 0
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de \mathbb{R}^3:
H=\operatorname{span}\{(-1,1,-2),(-3,2,-5)\}
e
M=\operatorname{span}\{(-1,2,1)\}.
Pede-se: encontrar o único vetor \vec{x} que pertence a M^{\perp}\cap H e que tem a primeira componente igual a -2, ou seja, um vetor da forma
\vec{x}=(-2,x_2,x_3).
Precisamos achar o valor de x_3 (escolha entre as alternativas dadas).

Passo 2

O que significa \vec{x}\in M^{\perp}? Significa que \vec{x} é ortogonal a todo vetor de M. Como M é gerado por um único vetor (-1,2,1), basta exigir que o produto escalar de \vec{x} com esse gerador seja zero:
\vec{x}\cdot(-1,2,1)=0.
Lembrete rápido sobre produto escalar: para \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3),
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Quando o produto escalar é zero, os vetores são ortogonais.

Passo 3

Como \vec{x}\in H, existe uma combinação linear de geradores de H que produz \vec{x}. Seja
\vec{h}_1 = (-1,1,-2),\qquad \vec{h}_2 = (-3,2,-5).
Então existem escalares a,b\in\mathbb{R} tais que
\vec{x}=a\vec{h}_1+b\vec{h}_2.
Calculemos as coordenadas de \vec{x} em função de a e b:
\vec{x}=a(-1,1,-2)+b(-3,2,-5)=(-a-3b,\;a+2b,\;-2a-5b).

Passo 4

Impondo que a primeira componente de \vec{x} seja -2, obtemos a equação
-a-3b=-2.
Reescrevendo de forma mais direta:
a+3b=2. \tag{1}

Passo 5

Agora impomos a ortogonalidade a (-1,2,1). Usando \vec{x}=(-a-3b,\;a+2b,\;-2a-5b) e o produto escalar:
\vec{x}\cdot(-1,2,1)=(-a-3b)(-1)+(a+2b)(2)+(-2a-5b)(1).
Calculemos passo a passo:
(-a-3b)(-1)=a+3b,
(a+2b)(2)=2a+4b,
(-2a-5b)(1)=-2a-5b.
Somando:
(a+3b)+(2a+4b)+(-2a-5b)=a+2b.
A condição \vec{x}\cdot(-1,2,1)=0 vira
a+2b=0. \tag{2}

Passo 6

Temos o sistema linear em a,b\): \[\begin{cases} a+3b=2,\\[4pt] a+2b=0. \end{cases}
Subtraindo a segunda equação da primeira obtemos
(a+3b)-(a+2b)=b=2.
Logo b=2\]. Substituindo em \(a+2b=0:
a+2\cdot 2=0 \implies a+4=0 \implies a=-4.]

Passo 7

Agora calculamos a terceira componente (x_3) de \vec{x} usando -2a-5b:
x_3 = -2a-5b = -2(-4)-5(2)=8-10=-2.
Portanto x_3=-2. Podemos fazer uma checagem rápida: com a=-4,b=2 a primeira componente é -a-3b=-(-4)-3\cdot2=4-6=-2 (ok) e o produto escalar com (-1,2,1) já foi forçado a zero (ok). Assim existe um único vetor com as propriedades pedidas e seu x_3 vale -2.

Resposta

(B) -2

Exercícios relacionados