Em G l(\mathbb{R}, 2), seja M=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right). Mostre que M tem ordem 4 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a matriz
M=\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}
tem ordem 4 no grupo Gl(\mathbb{R},2).
Informações dadas:
  • A matriz M está explicitamente fornecida acima.
  • Quer-se encontrar o menor inteiro positivo n tal que M^{n}=I, onde I é a matriz identidade 2\times2.]

Passo 2

Definição necessária (explicada de forma direta): a ordem de um elemento M em um grupo é o menor inteiro positivo n tal que M^{n}=I. Aqui I é a matriz identidade
I=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Para provar que a ordem é 4 precisamos: (i) mostrar que M^{4}=I e (ii) mostrar que para k=1,2,3 não se tem M^{k}=I.]

Passo 3

Vamos calcular M^{2}=M\cdot M passo a passo usando a definição de multiplicação de matrizes (cada entrada (i,j) é a soma dos produtos dos elementos da linha i da primeira pela coluna j da segunda).
Calculemos as entradas de M^{2}:
  • Entrada (1,1):
0\cdot 0 + (-1)\cdot 1 = 0-1 = -1.
  • Entrada (1,2):
0\cdot (-1) + (-1)\cdot 0 = 0+0 = 0.
  • Entrada (2,1):
1\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0+0 = 0.
  • Entrada (2,2):
1\cdot (-1) + 0\cdot 0 = -1+0 = -1.
Portanto
M^{2}=\begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix} = -I,
onde -I significa multiplicar a identidade pelo escalar -1.]

Passo 4

Observação simples: -I não é a identidade I, porque suas entradas são -1 na diagonal em vez de 1. Logo M^{2}\neq I.

Passo 5

Calculemos M^{3}=M^{2}\cdot M. Usamos a propriedade de que multiplicar a matriz -I por qualquer matriz A -A (isto é, (-I)A=-A, porque -I é o escalar -1 aplicado via matriz identidade).
Assim
M^{3}=M^{2}M = (-I)M = -M = \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix}.
Logo M^{3}\neq I (novamente porque as entradas não coincidem com as de I).]

Passo 6

Calculemos M^{4}. Podemos usar (M^{2})^{2} ou M^{2}\cdot M^{2}. Como M^{2}=-I,
M^{4}=(M^{2})^{2}=(-I)^{2}=(-1)^{2}I=I.
Portanto M^{4}=I.

Passo 7

Agora juntamos as informações para concluir a ordem: encontramos que M^{1}=M\neq I, M^{2}=-I\neq I, M^{3}=-M\neq I e M^{4}=I. O menor inteiro positivo n com M^{n}=I é, portanto, n=4. Logo a ordem de M é 4.

Resposta

4

Exercícios relacionados