Em G l(\mathbb{R}, 2), seja M=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right). Mostre que M tem ordem 4 .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a matriz
M=\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}
tem ordem 4 no grupo Gl(\mathbb{R},2).
Informações dadas:
A matriz M está explicitamente fornecida acima.
Quer-se encontrar o menor inteiro positivo n tal que M^{n}=I, onde I é a matriz identidade 2\times2.]
Passo 2
Definição necessária (explicada de forma direta): a ordem de um elemento M em um grupo é o menor inteiro positivo n tal que M^{n}=I. Aqui I é a matriz identidade
I=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Para provar que a ordem é 4 precisamos: (i) mostrar que M^{4}=I e (ii) mostrar que para k=1,2,3 não se tem M^{k}=I.]
Passo 3
Vamos calcular M^{2}=M\cdot M passo a passo usando a definição de multiplicação de matrizes (cada entrada (i,j) é a soma dos produtos dos elementos da linha i da primeira pela coluna j da segunda).
onde -I significa multiplicar a identidade pelo escalar -1.]
Passo 4
Observação simples: -I não é a identidade I, porque suas entradas são -1 na diagonal em vez de 1. Logo M^{2}\neq I.
Passo 5
Calculemos M^{3}=M^{2}\cdot M. Usamos a propriedade de que multiplicar a matriz -I por qualquer matriz A dá -A (isto é, (-I)A=-A, porque -I é o escalar -1 aplicado via matriz identidade).
Logo M^{3}\neq I (novamente porque as entradas não coincidem com as de I).]
Passo 6
Calculemos M^{4}. Podemos usar (M^{2})^{2} ou M^{2}\cdot M^{2}. Como M^{2}=-I,
M^{4}=(M^{2})^{2}=(-I)^{2}=(-1)^{2}I=I.
Portanto M^{4}=I.
Passo 7
Agora juntamos as informações para concluir a ordem: encontramos que M^{1}=M\neq I, M^{2}=-I\neq I, M^{3}=-M\neq I e M^{4}=I. O menor inteiro positivo n com M^{n}=I é, portanto, n=4. Logo a ordem de M é 4.