Sejam
e
formulas. Classifique as afirmações a seguir em verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta.
(a) Se
é satisfatível, então
é satisfatível
(b)
é tautologia se
é contraditória.
©
é tautologia se
é satisfatível.
(d) Se
é contraditória, então
é satisfatível.
(e) Se
e
é tautologia, então
é tautologia.
(f)
e B é tautologia, então
é tautologia.
(a) Se
(b)
©
(d) Se
(e) Se
(f)
Passo 1
O enunciado pede para a gente dizer se cada afirmação sobre satisfatibilidade, tautologia, contradição e consequência lógica é verdadeira ou falsa, usando as definições:
• Uma fórmula é satisfatível se existe ao menos uma valoração que a torna verdadeira.
• É tautologia se é verdadeira em todas as valorações.
• É contraditória se não existe nenhuma valoração que a torne verdadeira.
• significa que toda valoração que faz
verdadeira também faz
verdadeira.
• Uma fórmula
• É tautologia se é verdadeira em todas as valorações.
• É contraditória se não existe nenhuma valoração que a torne verdadeira.
•
Passo 2
Para (a), a afirmação é “se
é satisfatível, então
é satisfatível”. Isso é falso: basta tomar
tautologia (por exemplo
) que é satisfatível, mas
é contraditória e portanto insatisfatível.
Passo 3
Para (b), dizemos "
é tautologia se
é contraditória". Isso é verdadeiro porque
contraditória significa que
é falsa em toda valoração, logo
é verdadeira em toda valoração, ou seja, tautologia.
Passo 4
Para ©, a afirmação é "
é tautologia se
é satisfatível". Isso é falso: satisfatível só garante que existe alguma valoração que torna
verdadeira, não todas. Exemplo:
é satisfatível mas não tautologia.
Passo 5
Para (d), temos “se
é contraditória, então
é satisfatível”. Isso é verdadeiro porque
contraditória é falsa em toda valoração, então
será verdadeira em toda valoração, logo satisfatível.
Passo 6
Para (e), a afirmação é “se
e
é tautologia, então
é tautologia”. Isso é falso: o fato de duas fórmulas serem diferentes não implica compartilharem valor semântico. Exemplo:
é tautologia,
não é.
Passo 7
Para (f), dizemos “se
e
é tautologia, então
é tautologia”. Isso é falso: quando
é tautologia,
vale trivialmente para qualquer
, mas isso não obriga
a ser tautologia.
Resposta
(a) Falsa; (b) Verdadeira; © Falsa; (d) Verdadeira; (e) Falsa; (f) Falsa.