Caso convirja, calcule o valor das somas a seguir:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}-5}{6^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para avaliar, caso convirja, a soma infinita
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}-5}{6^{n}}.
Informações relevantes dadas no enunciado:
\text{para cada } n\ge 1:\quad \frac{2^{n}-5}{6^{n}}=\frac{2^{n}}{6^{n}}-\frac{5}{6^{n}}.
A tarefa é decidir se a série converge e, se convergir, calcular seu valor numérico.

Passo 2

Primeiro passo prático: usar linearidade da soma (somar termo a termo) para dividir a série em duas séries mais simples. Isso é válido quando as séries separadas convergem (ou sob convergência absoluta). Escrevemos:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}-5}{6^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{6^{n}}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{6^{n}}.
Agora vamos estudar cada uma dessas duas séries separadamente e verificar convergência.

Passo 3

Identificamos que ambas as séries são séries geométricas (ou múltiplas de geométrica). Lembrete didático sobre séries geométricas:
Seja r um número real com |r|<1. A série geométrica
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}
converge e seu valor é dado por
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r}.
Breve demonstração (útil na prova): defina S=\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=r+r^{2}+r^{3}+\dots. Multiplicando por 1-r obtém-se
(1-r)S = r,
logo S=\dfrac{r}{1-r} quando |r|<1. A condição |r|<1 é necessária para que os termos r^n tendam a zero e a soma convir.

Passo 4

Aplicando isso à primeira série:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{6^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{6}\right)^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{n}.
Aqui r=\dfrac{1}{3} e |r|=\dfrac{1}{3}<1, então a série converge. Pelo fórmula da geométrica,
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{n}=\frac{\tfrac{1}{3}}{1-\tfrac{1}{3}}=\frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{2}{3}}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Agora a segunda série:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{6^{n}}=5\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{6}\right)^{n}.
Aqui r=\dfrac{1}{6} e |r|=\dfrac{1}{6}<1, então também converge. Aplicando a fórmula,
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{6}\right)^{n}=\frac{\tfrac{1}{6}}{1-\tfrac{1}{6}}=\frac{\tfrac{1}{6}}{\tfrac{5}{6}}=\frac{1}{5}.
Multiplicando por 5 obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{6^{n}}=5\cdot\frac{1}{5}=1.

Passo 6

Como ambas as séries parciais convergem, a decomposição do Passo 2 é válida. Subtraiamos os resultados:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}-5}{6^{n}}=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}.
Portanto a série converge e seu valor é -\tfrac{1}{2}.

Resposta

-\frac{1}{2}

Exercícios relacionados