Caso convirja, calcule o valor das somas a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para avaliar, caso convirja, a soma infinita
Informações relevantes dadas no enunciado:
A tarefa é decidir se a série converge e, se convergir, calcular seu valor numérico.
Passo 2
Primeiro passo prático: usar linearidade da soma (somar termo a termo) para dividir a série em duas séries mais simples. Isso é válido quando as séries separadas convergem (ou sob convergência absoluta). Escrevemos:
Agora vamos estudar cada uma dessas duas séries separadamente e verificar convergência.
Passo 3
Identificamos que ambas as séries são séries geométricas (ou múltiplas de geométrica). Lembrete didático sobre séries geométricas:
Seja
um número real com
. A série geométrica
converge e seu valor é dado por
Breve demonstração (útil na prova): defina
. Multiplicando por
obtém-se
logo
quando
. A condição
é necessária para que os termos
tendam a zero e a soma convir.
Passo 4
Aplicando isso à primeira série:
Aqui
e
, então a série converge. Pelo fórmula da geométrica,
Passo 5
Agora a segunda série:
Aqui
e
, então também converge. Aplicando a fórmula,
Multiplicando por
obtemos
Passo 6
Como ambas as séries parciais convergem, a decomposição do Passo 2 é válida. Subtraiamos os resultados:
Portanto a série converge e seu valor é
.