Sejam
e
matrizes inversíveis de ordem
. Mostrar as seguintes identidades
e
.
Passo 1
O enunciado quer que a gente prove duas fórmulas envolvendo a matriz adjunta (ou adjugate):
e
.
Vamos usar duas ideias principais: a definição de via cofatores e a identidade geral
Vamos usar duas ideias principais: a definição de
Passo 2
Para
aplicamos a identidade
com
. Como
, fica
E como
é inversível, basta multiplicar dos dois lados por
para concluir
Passo 3
Para
voltamos à definição por cofatores: a entrada
de
é
onde
é a submatriz obtida de
apagando a linha
e a coluna
. Se
, toda submatriz
é outra matriz nula de ordem
, logo
para todo
. Assim cada cofator vale zero e portanto