Sejam A e B matrizes inversíveis de ordem n. Mostrar as seguintes identidades
\operatorname{adj}\left(I_{n}\right)=I_{n} e \operatorname{adj}(\overline{0})=\overline{0}.

Passo 1

O enunciado quer que a gente prove duas fórmulas envolvendo a matriz adjunta (ou adjugate): \operatorname{adj}(I_{n}) = I_{n} e \operatorname{adj}(\overline{0}) = \overline{0}.
Vamos usar duas ideias principais: a definição de \operatorname{adj}(A) via cofatores e a identidade geral
\operatorname{adj}(A)\,A \;=\;\det(A)\,I_{n}.

Passo 2

Para \operatorname{adj}(I_{n}) aplicamos a identidade
\operatorname{adj}(A)\,A = \det(A)\,I_{n}
com A = I_{n}. Como \det(I_{n}) = 1, fica
\operatorname{adj}(I_{n})\,I_{n} = 1\cdot I_{n} = I_{n}.
E como I_{n} é inversível, basta multiplicar dos dois lados por I_{n}^{-1}=I_{n} para concluir
\operatorname{adj}(I_{n}) = I_{n}.

Passo 3

Para \operatorname{adj}(\overline{0}) voltamos à definição por cofatores: a entrada (i,j) de \operatorname{adj}(A) é
C_{ji} = (-1)^{\,j+i}\det\bigl(A_{ij}\bigr),
onde A_{ij} é a submatriz obtida de A apagando a linha i e a coluna j. Se A=\overline{0}, toda submatriz A_{ij} é outra matriz nula de ordem n-1, logo \det(A_{ij})=0 para todo i,j. Assim cada cofator vale zero e portanto
\operatorname{adj}(\overline{0}) = \overline{0}.

Resposta

\operatorname{adj}(I_{n}) = I_{n} \operatorname{adj}(\overline{0}) = \overline{0}

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