Sejam a, b e c números reais. Escreva cada sistema em sua forma matricial A \cdot X=B, calcule a matriz inversa A^{-1} e determine X. Observe que X=A^{-1} \cdot B.
\left\{\begin{array}{c}x+y=a \\\\ 3 x+y+z=b \\\\ 2 x+y+z=c .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x + y = a,\\\\ 3x + y + z = b,\\\\ 2x + y + z = c, \end{cases}
e pede para escrevê-lo na forma matricial A \cdot X = B, calcular A^{-1} e, em seguida, obter X = A^{-1}B. O conteúdo é Álgebra Linear: inversão de matrizes e solução de sistemas.

Passo 2

Identificamos
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 3 & 1 & 1\\\\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix}
de modo que A\,X=B.

Passo 3

Vamos calcular \det(A) e depois A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\adj(A).
O determinante é
\det(A) =1\cdot\begin{vmatrix}1&1\\\ 1&1\end{vmatrix} -1\cdot\begin{vmatrix}3&1\\\ 2&1\end{vmatrix} +0 =1\cdot(1-1)-1\cdot(3-2)= -1.
Agora formamos a matriz dos cofatores e sua transposta (adjunta):
cofator (i,j) = (-1)^{i+j} vezes o determinante do menor correspondente, resultando em
\cof(A)= \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1\\\\ -1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & -2 \end{pmatrix},
\adj(A)=\cof(A)^{T}= \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1\\\\ -1 & 1 & -1\\\\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}.
Logo
A^{-1}=\frac{1}{-1}\,\adj(A) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1\\\\ 1 & -1 & 1\\\\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 4

Finalmente, calculamos X=A^{-1}B:
\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1\\\\ 1 & -1 & 1\\\\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b - c\\\ a - b + c\\\\ -\,a - b + 2c \end{pmatrix}.

Resposta

x = b - c,\quad y = a - b + c,\quad z = -\,a - b + 2c.

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