Sejam a, b e c números reais. Escreva cada sistema em sua forma matricial A \cdot X=B, calcule a matriz inversa A^{-1} e determine X. Observe que X=A^{-1} \cdot B. \left\{\begin{array}{c}x+y=a \\\\ 3 x+y+z=b \\\\ 2 x+y+z=c .\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x + y = a,\\\\ 3x + y + z = b,\\\\ 2x + y + z = c, \end{cases}
e pede para escrevê-lo na forma matricial A \cdot X = B, calcular A^{-1} e, em seguida, obter X = A^{-1}B. O conteúdo é Álgebra Linear: inversão de matrizes e solução de sistemas.
Passo 2
Identificamos
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 3 & 1 & 1\\\\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix}
de modo que A\,X=B.
Passo 3
Vamos calcular \det(A) e depois A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\adj(A).
O determinante é
Agora formamos a matriz dos cofatores e sua transposta (adjunta):
cofator(i,j) = (-1)^{i+j} vezes o determinante do menor correspondente, resultando em