Sejam
e
matrizes inversíveis de ordem
. Mostrar as seguintes identidades
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para toda matriz invertível
, vale
Aqui vamos usar a definição de matriz adjunta (ou adjugate) em termos do determinante e da inversa, além das propriedades de determinante e inversa da transposta.
Passo 2
Por definição, para toda matriz invertível
temos
Analogamente,
Passo 3
Recordamos duas propriedades clássicas:
-
. -
.
Passo 4
Substituindo essas propriedades em
, obtemos: