Sejam A e B matrizes inversíveis de ordem n. Mostrar as seguintes identidades
\operatorname{adj}\left(A^{t}\right)=(\operatorname{adj}(A))^{t}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para toda matriz invertível A\in M_{n}(\mathbb{K}), vale
\operatorname{adj}\bigl(A^{t}\bigr) \;=\;\bigl(\operatorname{adj}(A)\bigr)^{t}.
Aqui vamos usar a definição de matriz adjunta (ou adjugate) em termos do determinante e da inversa, além das propriedades de determinante e inversa da transposta.

Passo 2

Por definição, para toda matriz invertível A temos
\operatorname{adj}(A)=\det(A)\,A^{-1}.
Analogamente,
\operatorname{adj}\bigl(A^{t}\bigr)=\det\bigl(A^{t}\bigr)\,\bigl(A^{t}\bigr)^{-1}.

Passo 3

Recordamos duas propriedades clássicas:
  1. \det\bigl(A^{t}\bigr)=\det(A).
  2. \bigl(A^{t}\bigr)^{-1}=\bigl(A^{-1}\bigr)^{t}.

Passo 4

Substituindo essas propriedades em \operatorname{adj}(A^{t}), obtemos:
\operatorname{adj}\bigl(A^{t}\bigr) =\det\bigl(A^{t}\bigr)\,\bigl(A^{t}\bigr)^{-1} =\det(A)\,\bigl(A^{-1}\bigr)^{t} =\bigl(\det(A)\,A^{-1}\bigr)^{t} =\bigl(\operatorname{adj}(A)\bigr)^{t}.

Resposta

\operatorname{adj}\bigl(A^{t}\bigr) \;=\;\bigl(\operatorname{adj}(A)\bigr)^{t}.

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