Sejam
e
matrizes inversíveis de ordem
. Mostrar as seguintes identidades
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dada uma matriz inversível
de ordem
e um inteiro
, vale
Para isso vamos usar a definição de matriz adjunta via determinante e inversa:
além das propriedades
e
.
Passo 2
Pela definição de adjunta em termos de inversa e determinante, temos
Isso expressa a adjunta de
diretamente em função de
e da inversa de
.
Passo 3
Agora usamos duas propriedades clássicas de determinantes e inversas:
Substituindo em
obtemos
Passo 4
Reescrevendo
como potência de um produto, fica
Isso mostra exatamente a identidade desejada.