Sejam A e B matrizes inversíveis de ordem n. Mostrar as seguintes identidades
\operatorname{adj}\left(A^{m}\right)=(\operatorname{adj}(A))^{m}, onde m \in \mathbb{N}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dada uma matriz inversível A de ordem n e um inteiro m\ge1, vale
\adj\bigl(A^{m}\bigr)\;=\;\bigl(\adj(A)\bigr)^{m}.
Para isso vamos usar a definição de matriz adjunta via determinante e inversa:
\adj(A)=\det(A)\,A^{-1},
além das propriedades \det(A^m)=(\det A)^m e (A^m)^{-1}=(A^{-1})^m.

Passo 2

Pela definição de adjunta em termos de inversa e determinante, temos
\adj\bigl(A^{m}\bigr) =\det\bigl(A^{m}\bigr)\,\bigl(A^{m}\bigr)^{-1}.
Isso expressa a adjunta de A^m diretamente em função de \det(A^m) e da inversa de A^m.

Passo 3

Agora usamos duas propriedades clássicas de determinantes e inversas:
\det\bigl(A^{m}\bigr)=(\det A)^{m}, \quad \bigl(A^{m}\bigr)^{-1}=(A^{-1})^{m}.
Substituindo em \adj(A^m) obtemos
\adj\bigl(A^{m}\bigr) =(\det A)^{m}\,(A^{-1})^{m}.

Passo 4

Reescrevendo (\det A)^{m}\,(A^{-1})^{m} como potência de um produto, fica
(\det A)^{m}\,(A^{-1})^{m} =\bigl(\det A\cdot A^{-1}\bigr)^{m} =\bigl(\adj(A)\bigr)^{m}.
Isso mostra exatamente a identidade desejada.

Resposta

\adj\bigl(A^{m}\bigr) =\bigl(\adj(A)\bigr)^{m}.

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