Sejam
e
matrizes inversíveis de ordem
. Mostrar as seguintes identidades
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, dadas matrizes invertíveis de ordem
e um escalar non-zero
, vale a identidade
O conteúdo é Álgebra Linear: vamos usar propriedades de determinante, inversa e a definição de matriz adjunta para matrizes invertíveis.
Passo 2
Lembramos que, para matriz invertível
, a adjunta é dada por
Passo 3
Aplicamos a propriedade do determinante em escala:
pois multiplicar cada linha (ou coluna) de
por
introduz um fator
, repetido
vezes.
Passo 4
Usamos também que a inversa satisfaz
sempre que
.
Passo 5
Agora calculamos a adjunta de
usando a definição: