Sejam A e B matrizes inversíveis de ordem n. Mostrar as seguintes identidades
\operatorname{adj}(k A)=k^{n-1} \operatorname{adj}(A), onde k \neq 0.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dadas matrizes invertíveis de ordem n e um escalar non-zero k, vale a identidade
\operatorname{adj}(kA)=k^{n-1}\,\operatorname{adj}(A).
O conteúdo é Álgebra Linear: vamos usar propriedades de determinante, inversa e a definição de matriz adjunta para matrizes invertíveis.

Passo 2

Lembramos que, para matriz invertível A, a adjunta é dada por
\operatorname{adj}(A)=\det(A)\,A^{-1}.

Passo 3

Aplicamos a propriedade do determinante em escala:
\det(kA)=k^n\,\det(A),
pois multiplicar cada linha (ou coluna) de A por k introduz um fator k, repetido n vezes.

Passo 4

Usamos também que a inversa satisfaz
(kA)^{-1}=\frac{1}{k}\,A^{-1}
sempre que k\neq0.

Passo 5

Agora calculamos a adjunta de kA usando a definição:
\operatorname{adj}(kA) =\det(kA)\,(kA)^{-1} =\bigl(k^n\det(A)\bigr)\,\Bigl(\frac{1}{k}A^{-1}\Bigr) =k^{n-1}\,\bigl(\det(A)\,A^{-1}\bigr) =k^{n-1}\,\operatorname{adj}(A).

Resposta

\operatorname{adj}(kA)=k^{n-1}\,\operatorname{adj}(A).

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