Sejam
e
matrizes inversíveis de ordem
. Mostrar as seguintes identidades
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas matrizes invertíveis
, vale
O conteúdo que usaremos envolve a definição da matriz adjunta (ou adjugata) de uma matriz invertível e as propriedades de determinante e inversa de produto de matrizes.
Passo 2
Para uma matriz invertível
, lembramos que a adjunta satisfaz
e, portanto, multiplicando à esquerda por
, obtemos a forma útil
Passo 3
Aplicando essa definição à matriz produto
, escrevemos
Passo 4
Agora usamos duas propriedades clássicas:
-
. -
.
Substituindo na expressão de, vem
Passo 5
Reconhecendo nos fatores finais as definições de
e
, concluímos