Sejam A e B matrizes inversíveis de ordem n. Mostrar as seguintes identidades
\operatorname{adj}(A \cdot B)=\operatorname{adj}(B) \cdot \operatorname{adj}(A).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas matrizes invertíveis A,B\in\mathbb{R}^{n\times n}, vale
\operatorname{adj}(A B) \;=\;\operatorname{adj}(B)\,\operatorname{adj}(A).
O conteúdo que usaremos envolve a definição da matriz adjunta (ou adjugata) de uma matriz invertível e as propriedades de determinante e inversa de produto de matrizes.

Passo 2

Para uma matriz invertível M\in\mathbb{R}^{n\times n}, lembramos que a adjunta satisfaz
M\,\operatorname{adj}(M)=\det(M)\,I
e, portanto, multiplicando à esquerda por M^{-1}, obtemos a forma útil
\operatorname{adj}(M)=\det(M)\,M^{-1}.

Passo 3

Aplicando essa definição à matriz produto A B, escrevemos
\operatorname{adj}(A B) =\det(A B)\,(A B)^{-1}.

Passo 4

Agora usamos duas propriedades clássicas:
  1. \det(A B)=\det(A)\,\det(B).
  2. (A B)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.
    Substituindo na expressão de \operatorname{adj}(A B), vem
\operatorname{adj}(A B) =\bigl(\det(A)\,\det(B)\bigr)\bigl(B^{-1}A^{-1}\bigr) =\det(B)\,B^{-1}\;\cdot\;\det(A)\,A^{-1}.

Passo 5

Reconhecendo nos fatores finais as definições de \operatorname{adj}(B) e \operatorname{adj}(A), concluímos
\operatorname{adj}(A B) =\operatorname{adj}(B)\,\operatorname{adj}(A).

Resposta

\operatorname{adj}(A B)=\operatorname{adj}(B)\,\operatorname{adj}(A).

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