Sejam
e
matrizes inversíveis de ordem
. Mostrar as seguintes identidades
.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar que, para toda matriz invertível
de ordem
, vale
O conteúdo envolve a definição de matriz adjunta (adjugate) e propriedades de determinante, em particular
e
.
Passo 2
Lembramos que a adjunta de
, denotada
, satisfaz a identidade matricial
Aqui
é a matriz identidade de ordem
e
porque
é invertível.
Passo 3
Aplicamos a função determinante a ambos os lados de
Isso dá
Pela propriedade
, o lado esquerdo é
E pelo fato de
, o lado direito é
Passo 4
Igualando as duas expressões, obtemos
Como
, dividimos ambos os lados por
e concluímos