Sejam A e B matrizes inversíveis de ordem n. Mostrar as seguintes identidades
|\operatorname{adj}(A)|=|A|^{n-1}.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que, para toda matriz invertível A de ordem n, vale
\bigl|\adj(A)\bigr| = \bigl|A\bigr|^{\,n-1}.
O conteúdo envolve a definição de matriz adjunta (adjugate) e propriedades de determinante, em particular \det(XY)=\det(X)\det(Y) e \det(cI_n)=c^n.

Passo 2

Lembramos que a adjunta de A, denotada \adj(A), satisfaz a identidade matricial
A\,\adj(A)=\det(A)\,I_n.
Aqui I_n é a matriz identidade de ordem n e \det(A)\neq0 porque A é invertível.

Passo 3

Aplicamos a função determinante a ambos os lados de
A\,\adj(A)=\det(A)\,I_n.
Isso dá
\det\bigl(A\,\adj(A)\bigr) =\det\bigl(\det(A)\,I_n\bigr).
Pela propriedade \det(XY)=\det(X)\det(Y), o lado esquerdo é
\det(A)\,\det\bigl(\adj(A)\bigr).
E pelo fato de \det(cI_n)=c^n, o lado direito é
\bigl(\det(A)\bigr)^n.

Passo 4

Igualando as duas expressões, obtemos
\det(A)\,\det\bigl(\adj(A)\bigr) =\bigl(\det(A)\bigr)^n.
Como \det(A)\neq0, dividimos ambos os lados por \det(A) e concluímos
\det\bigl(\adj(A)\bigr) =\bigl(\det(A)\bigr)^{\,n-1}.

Resposta

\bigl|\adj(A)\bigr| = \bigl|A\bigr|^{\,n-1}.

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