Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 3 . Calcule \operatorname{det}(B) nos seguintes casos, sabendo que \operatorname{det}(A)=2.
A matriz A é obtida de B por meio das operações elementares: l_{2} \leftrightarrow l_{1}, l_{3} \leftarrow l_{3}-3 l_{2} e l_{1} \rightarrow 2 l_{1}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A e B são matrizes quadradas de ordem 3.
  • \operatorname{det}(A)=2.
  • A matriz A é obtida a partir de B por meio, nesta ordem, das operações elementares sobre linhas:
    1. l_{2}\leftrightarrow l_{1} (troca entre a linha 2 e a linha 1),
    2. l_{3}\leftarrow l_{3}-3\,l_{2} (substituição da linha 3 pela linha 3 menos 3 vezes a linha 2),
    3. l_{1}\rightarrow 2\,l_{1} (multiplicação da linha 1 por 2).
A pergunta que temos que responder é: calcular \operatorname{det}(B).

Passo 2

Vamos rever, de forma bem didática, como cada tipo de operação elementar afeta o determinante (isso é o que frequentemente cai na prova — decora e entenda!):
  • Troca de duas linhas: se trocamos duas linhas quaisquer, o determinante tem seu sinal invertido. Em símbolos, se B' é obtida de B trocando duas linhas, então \operatorname{det}(B') = -\operatorname{det}(B).Intuição: permutações ímpares mudam o sinal do determinante.
  • Substituição de uma linha pela própria linha somada a um múltiplo de outra linha: isso NÃO altera o determinante. Ou seja, se B' é obtida de B por l_i\leftarrow l_i + k\,l_j com i\neq j, então \operatorname{det}(B') = \operatorname{det}(B).Intuição: essa operação corresponde a combinar linearmente linhas sem alterar a área/volume orientado relacionado ao determinante.
  • Multiplicação de uma linha por um escalar k: o determinante é multiplicado por k. Se B' é obtida de B por l_i\leftarrow k\,l_i, então \operatorname{det}(B') = k\,\operatorname{det}(B).Intuição: o determinante é multilinear nas linhas, portanto escala com o fator.

Passo 3

Agora aplicamos essas regras na sequência de operações que leva B a A. Para ficar claro, defino:
  • B^{(0)}=B (matriz inicial),
  • B^{(1)} é o resultado após a primeira operação ( l_{2}\leftrightarrow l_{1}),
  • B^{(2)} é o resultado após a segunda operação ( l_{3}\leftarrow l_{3}-3\,l_{2}),
  • B^{(3)}=A é o resultado após a terceira operação ( l_{1}\rightarrow 2\,l_{1}).
Agora escrever a relação entre determinantes passo a passo:
  1. Após a troca l_{2}\leftrightarrow l_{1}:
    \operatorname{det}\bigl(B^{(1)}\bigr) = -\operatorname{det}\bigl(B^{(0)}\bigr).
  2. Após a substituição l_{3}\leftarrow l_{3}-3\,l_{2}: por ser uma operação do tipo l_i\leftarrow l_i + k\,l_j, o determinante não muda:
    \operatorname{det}\bigl(B^{(2)}\bigr) = \operatorname{det}\bigl(B^{(1)}\bigr).
  3. Após a multiplicação l_{1}\rightarrow 2\,l_{1}: o determinante é multiplicado por 2:
    \operatorname{det}\bigl(B^{(3)}\bigr) = 2\,\operatorname{det}\bigl(B^{(2)}\bigr).

Passo 4

Agora combinamos as igualdades dos passos anteriores para relacionar \operatorname{det}(A)=\operatorname{det}\bigl(B^{(3)}\bigr) com \operatorname{det}(B)=\operatorname{det}\bigl(B^{(0)}\bigr).
Substituindo em cadeia:
\operatorname{det}(A)=\operatorname{det}\bigl(B^{(3)}\bigr) =2\,\operatorname{det}\bigl(B^{(2)}\bigr) =2\,\operatorname{det}\bigl(B^{(1)}\bigr) =2\bigl(-\operatorname{det}\bigl(B^{(0)}\bigr)\bigr).
Logo obtemos a relação
\operatorname{det}(A) = -2\,\operatorname{det}(B).
Isolando \operatorname{det}(B) em termos de \operatorname{det}(A),
\operatorname{det}(B)=\frac{\operatorname{det}(A)}{-2}.

Passo 5

Agora basta substituir o valor conhecido de \operatorname{det}(A) na expressão obtida no passo anterior para encontrar \operatorname{det}(B). Força aí, já está quase!

Resposta

-1

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