Sejam
e
matrizes quadradas de ordem 3 . Calcule
nos seguintes casos, sabendo que
.
A matriz
é obtida de
por meio das operações elementares:
e
.
A matriz
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
e são matrizes quadradas de ordem 3. -
. - A matriz
é obtida a partir de por meio, nesta ordem, das operações elementares sobre linhas: -
(troca entre a linha 2 e a linha 1), -
(substituição da linha 3 pela linha 3 menos 3 vezes a linha 2), -
(multiplicação da linha 1 por 2).
-
A pergunta que temos que responder é: calcular
.
Passo 2
Vamos rever, de forma bem didática, como cada tipo de operação elementar afeta o determinante (isso é o que frequentemente cai na prova — decora e entenda!):
- Troca de duas linhas: se trocamos duas linhas quaisquer, o determinante tem seu sinal invertido. Em símbolos, se
é obtida de trocando duas linhas, então Intuição: permutações ímpares mudam o sinal do determinante. - Substituição de uma linha pela própria linha somada a um múltiplo de outra linha: isso NÃO altera o determinante. Ou seja, se
é obtida de por com , então Intuição: essa operação corresponde a combinar linearmente linhas sem alterar a área/volume orientado relacionado ao determinante. - Multiplicação de uma linha por um escalar
: o determinante é multiplicado por . Se é obtida de por , então Intuição: o determinante é multilinear nas linhas, portanto escala com o fator.
Passo 3
Agora aplicamos essas regras na sequência de operações que leva
a
. Para ficar claro, defino:
-
(matriz inicial), -
é o resultado após a primeira operação ( ), -
é o resultado após a segunda operação ( ), -
é o resultado após a terceira operação ( ).
Agora escrever a relação entre determinantes passo a passo:
-
Após a troca
: -
Após a substituição
: por ser uma operação do tipo , o determinante não muda: -
Após a multiplicação
: o determinante é multiplicado por :
Passo 4
Agora combinamos as igualdades dos passos anteriores para relacionar
com
.
Substituindo em cadeia:
Substituindo em cadeia:
Logo obtemos a relação
Isolando
em termos de
,
Passo 5
Agora basta substituir o valor conhecido de
na expressão obtida no passo anterior para encontrar
. Força aí, já está quase!