Sejam
e
matrizes quadradas de ordem 3 . Calcule
nos seguintes casos, sabendo que
.
.
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes quadradas de ordem 3,
e
, e informa que
. Também dá a relação entre elas:
A pergunta é: calcular
sabendo essas informações.
Passo 2
Lembrete das propriedades de determinante que vamos usar (cada uma vale para matrizes quadradas de qualquer ordem, em particular ordem 3):
- Produto: para duas matrizes quadradas
e ,
Isto significa que o determinante do produto é o produto dos determinantes.
- Transposta: para qualquer matriz quadrada
,
Ou seja, a operação de transpor não altera o determinante.
- Inversa: se
é invertível, então
Ou seja, o determinante da inversa é o inverso do determinante.
Vou usar essas três propriedades passo a passo.
Passo 3
Aplicando a propriedade do determinante do produto à matriz do lado esquerdo
:
Pela propriedade da transposta temos
. Então
Passo 4
No enunciado temos
. Tomando determinantes em ambos os lados e usando a propriedade do lado direito para a inversa:
Passo 5
Igualando as expressões das Passos 3 e 4:
Isolando
obtemos
Passo 6
Substituindo o valor numérico dado
: