Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 3 . Calcule \operatorname{det}(B) nos seguintes casos, sabendo que \operatorname{det}(A)=2.
A A^{T}=B^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes quadradas de ordem 3, A e B, e informa que \det(A)=2. Também dá a relação entre elas:
A A^{T} = B^{-1}.
A pergunta é: calcular \det(B) sabendo essas informações.

Passo 2

Lembrete das propriedades de determinante que vamos usar (cada uma vale para matrizes quadradas de qualquer ordem, em particular ordem 3):
  • Produto: para duas matrizes quadradas X e Y,
\det(XY)=\det(X)\det(Y).
Isto significa que o determinante do produto é o produto dos determinantes.
  • Transposta: para qualquer matriz quadrada X,
\det(X^{T})=\det(X).
Ou seja, a operação de transpor não altera o determinante.
  • Inversa: se X é invertível, então
\det(X^{-1})=\frac{1}{\det(X)}.
Ou seja, o determinante da inversa é o inverso do determinante.
Vou usar essas três propriedades passo a passo.

Passo 3

Aplicando a propriedade do determinante do produto à matriz do lado esquerdo A A^{T}:
\det(A A^{T})=\det(A)\det(A^{T}).
Pela propriedade da transposta temos \det(A^{T})=\det(A). Então
\det(A A^{T})=\det(A)\det(A)=\det(A)^{2}.

Passo 4

No enunciado temos \;A A^{T}=B^{-1}\;. Tomando determinantes em ambos os lados e usando a propriedade do lado direito para a inversa:
\det(A A^{T})=\det(B^{-1})=\frac{1}{\det(B)}.

Passo 5

Igualando as expressões das Passos 3 e 4:
\det(A)^{2}=\frac{1}{\det(B)}.
Isolando \det(B) obtemos
\det(B)=\frac{1}{\det(A)^{2}}.

Passo 6

Substituindo o valor numérico dado \det(A)=2:
\det(B)=\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4}.

Resposta

\tfrac{1}{4}

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