Dada uma matriz quadrada A, se existir um número inteiro p>1, tal que A^{p}=A, diz-se que A é uma matriz periódica de período p. Se A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 1 \\\\ -3 & 4 & -3 \\\\ -5 & 5 & -4\end{array}\right), mostre que A é periódica. Determine o período p de A.

Passo 1

O enunciado dá a matriz quadrada
A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\[4pt] -3 & 4 & -3\\[4pt] -5 & 5 & -4 \end{pmatrix}
e pede para mostrar que existe um inteiro p>1 tal que A^{p}=A (ou seja, mostrar que A é periódica) e determinar o período p.
Informações relevantes que temos:
  • A matriz A está completamente determinada pelos seus 9 elementos (listados acima).
  • Precisamos encontrar um inteiro p>1 tal que A^{p}=A.
  • Não foi dado nenhum outro requisito; portanto podemos tentar a abordagem mais direta: calcular potências simples de A (começando por A^{2}) e ver se alguma delas é igual a A.]

Passo 2

Estratégia escolhida (por que esse método): a maneira mais simples e direta é calcular A^{2} (multiplicação matricial) e checar se A^{2}=A. Se isso ocorrer, já teremos um inteiro p>1 (no caso p=2) com A^{p}=A. Essa abordagem usa apenas a definição básica de multiplicação de matrizes e é rápida para matrizes 3\times3. Outra abordagem possível seria usar polinômios mínimos e autovalores, mas isso é desnecessário aqui e mais trabalhosa para um cálculo manual rápido.

Passo 3

Lembrete didático sobre multiplicação de matrizes: se B e C são matrizes 3\times3, o elemento na posição (i,j) do produto BC é dado por
(BC)_{ij}=\sum_{k=1}^{3} B_{ik}\,C_{kj}.
Ou seja, para calcular a entrada (i,j) multiplicamos a i-ésima linha de B pela j-ésima coluna de C e somamos os três produtos. Vou aplicar isso para calcular A^{2}=A\cdot A.

Passo 4

Calcular A^{2} elemento a elemento (cada soma mostrada):
Primeira linha de A^{2} (produto da primeira linha de A com cada coluna de A):
\begin{aligned} (A^{2})_{11}&=2\cdot2+(-1)\cdot(-3)+1\cdot(-5)=4+3-5=2,\\[4pt] (A^{2})_{12}&=2\cdot(-1)+(-1)\cdot4+1\cdot5=-2-4+5=-1,\\[4pt] (A^{2})_{13}&=2\cdot1+(-1)\cdot(-3)+1\cdot(-4)=2+3-4=1. \end{aligned}
Segunda linha de A^{2} (produto da segunda linha de A com cada coluna de A):
\begin{aligned} (A^{2})_{21}&=(-3)\cdot2+4\cdot(-3)+(-3)\cdot(-5)=-6-12+15=-3,\\[4pt] (A^{2})_{22}&=(-3)\cdot(-1)+4\cdot4+(-3)\cdot5=3+16-15=4,\\[4pt] (A^{2})_{23}&=(-3)\cdot1+4\cdot(-3)+(-3)\cdot(-4)=-3-12+12=-3. \end{aligned}
Terceira linha de A^{2} (produto da terceira linha de A com cada coluna de A):
\begin{aligned} (A^{2})_{31}&=(-5)\cdot2+5\cdot(-3)+(-4)\cdot(-5)=-10-15+20=-5,\\[4pt] (A^{2})_{32}&=(-5)\cdot(-1)+5\cdot4+(-4)\cdot5=5+20-20=5,\\[4pt] (A^{2})_{33}&=(-5)\cdot1+5\cdot(-3)+(-4)\cdot(-4)=-5-15+16=-4. \end{aligned}
Agora escrevendo todas as entradas juntas:
A^{2}=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\[4pt] -3 & 4 & -3\\[4pt] -5 & 5 & -4 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Comparando com a matriz A dada, vemos que
A^{2}=A.
Isso prova que existe um inteiro p>1 (especificamente p=2) tal que A^{p}=A, portanto A é periódica.
Explicação adicional e minimalidade do período: como A^{2}=A, por indução segue-se facilmente que A^{n}=A para todo inteiro n\ge 1. O menor inteiro p>1 que satisfaz A^{p}=A é, então, p=2 (não existe inteiro inteiro p com 1<p<2). Em linguagem de álgebra linear, matrizes que satisfazem A^{2}=A são chamadas de idempotentes (ou projeções); seus autovalores só podem ser \,0 ou \,1, porque qualquer autovalor \lambda satisfaz \lambda^{2}=\lambda.

Resposta

p=2

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