Sejam A e B matrizes 2 \times 2. Assinale a alternativa certa em relaçio à equação
(A-B)^{2}=A^{2}-A B-B A+B^{2}
(a)jamais correta (b) sempre correta
(c) correta apenas quando A e B são invertíveis (d) correta apenas quando \operatorname{det} A=\operatorname{det} B=0 (e) correta apenas quando A B=B A

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes A e B de ordem 2\times2 e pede que a gente escolha a alternativa correta sobre a igualdade
(A-B)^{2}=A^{2}-A B-B A+B^{2}.
As alternativas são:
(a) jamais correta;
(b) sempre correta;
(c) correta apenas quando A e B são invertíveis;
(d) correta apenas quando \operatorname{det}A=\operatorname{det}B=0;
(e) correta apenas quando A B=B A.

Passo 2

Vamos lembrar propriedades básicas de multiplicação de matrizes que vamos usar (sem assumir nada extra):
  • A multiplicação de matrizes é distributiva: para quaisquer matrizes compatíveis X,Y,Z valem
X(Y+Z)=XY+XZ \quad\text{e}\quad (X+Y)Z=XZ+YZ.
  • A multiplicação é associativa: X(YZ)=(XY)Z.
  • Em geral a multiplicação não é comutativa: pode ocorrer XY\neq YX.
    Essas propriedades são suficientes para expandirmos produtos do tipo (A-B)(A-B).

Passo 3

Começamos reescrevendo o quadrado do binômio como produto:
(A-B)^{2}=(A-B)(A-B).
Agora aplicamos a distributividade duas vezes. Primeiro veja o produto como
(A-B)(A-B)=A(A-B)-B(A-B),
pois multiplicar pela soma/subtração à direita distribui sobre os termos. Agora distribuímos mais uma vez cada termo:
A(A-B)=A A-A B = A^{2}-A B,
B(A-B)=B A-B B = B A-B^{2}.
Substituindo essas expressões de volta em (A-B)(A-B) obtemos
(A-B)^{2}=(A^{2}-A B)-(B A-B^{2}).
Agora simplificamos os sinais:
(A-B)^{2}=A^{2}-A B-B A+B^{2}.
Note que em nenhuma etapa usamos que A e B comutam nem que são invertíveis nem fizemos qualquer hipótese sobre determinantes; só usamos distributividade e associatividade, que valem para matrizes.

Passo 4

Portanto a identidade
(A-B)^{2}=A^{2}-A B-B A+B^{2}
é verdadeira para quaisquer matrizes quadradas A e B (de tamanho compatível), simplesmente pela expansão do produto (A-B)(A-B) usando propriedades básicas. Não é necessário que A e B comutem ( AB=BA) nem que sejam invertíveis nem que tenham determinante zero.

Passo 5

Para fixar a ideia, faço um exemplo numérico simples com matrizes 2\times2. Escolho
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]0 & 0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Calculemos rapidamente:
A^{2}=A,\qquad B^{2}=0,\qquad AB=B,\qquad BA=0.
Então o lado direito fica
A^{2}-AB-BA+B^{2}=A-B-0+0=A-B.
O lado esquerdo é
(A-B)^{2}=(A-B)(A-B)=A-B
(se calcularmos explicitamente usando multiplicação, dá o mesmo). Esse exemplo mostra que mesmo com AB\neq BA a igualdade vale. É exatamente o que a dedução algébrica mostrou.]

Passo 6

Conclusão prática para a prova: quando você vir (A-B)^{2} com matrizes, trate como (A-B)(A-B) e distribua — não use a versão escalar que precisa de comutatividade sem justificar. A expansão dará sempre A^{2}-AB-BA+B^{2}.

Resposta

(b)

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