Sejam
e
matrizes
. Assinale a alternativa certa em relaçio à equação
(a)jamais correta (b) sempre correta
(c) correta apenas quando
e
são invertíveis (d) correta apenas quando
(e) correta apenas quando
(c) correta apenas quando
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes
e
de ordem
e pede que a gente escolha a alternativa correta sobre a igualdade
As alternativas são:
(a) jamais correta;
(b) sempre correta;
(c) correta apenas quando e
são invertíveis;
(d) correta apenas quando ;
(e) correta apenas quando .
(a) jamais correta;
(b) sempre correta;
(c) correta apenas quando
(d) correta apenas quando
(e) correta apenas quando
Passo 2
Vamos lembrar propriedades básicas de multiplicação de matrizes que vamos usar (sem assumir nada extra):
- A multiplicação de matrizes é distributiva: para quaisquer matrizes compatíveis
valem
- A multiplicação é associativa:
. - Em geral a multiplicação não é comutativa: pode ocorrer
.
Essas propriedades são suficientes para expandirmos produtos do tipo.
Passo 3
Começamos reescrevendo o quadrado do binômio como produto:
Agora aplicamos a distributividade duas vezes. Primeiro veja o produto como
pois multiplicar pela soma/subtração à direita distribui sobre os termos. Agora distribuímos mais uma vez cada termo:
Substituindo essas expressões de volta em
obtemos
Agora simplificamos os sinais:
Note que em nenhuma etapa usamos que
e
comutam nem que são invertíveis nem fizemos qualquer hipótese sobre determinantes; só usamos distributividade e associatividade, que valem para matrizes.
Passo 4
Portanto a identidade
é verdadeira para quaisquer matrizes quadradas
e
(de tamanho compatível), simplesmente pela expansão do produto
usando propriedades básicas. Não é necessário que
e
comutem (
) nem que sejam invertíveis nem que tenham determinante zero.
Passo 5
Para fixar a ideia, faço um exemplo numérico simples com matrizes
. Escolho
Calculemos rapidamente:
Então o lado direito fica
O lado esquerdo é
(se calcularmos explicitamente usando multiplicação, dá o mesmo). Esse exemplo mostra que mesmo com
a igualdade vale. É exatamente o que a dedução algébrica mostrou.]
Passo 6
Conclusão prática para a prova: quando você vir
com matrizes, trate como
e distribua — não use a versão escalar que precisa de comutatividade sem justificar. A expansão dará sempre
.
Resposta
(b)