Q 4: Considere a seguinte matriz:
C=\left(\begin{array}{cccc} 4 & 1 & 1 & 4 \\\\ 1 & 0 & 0 & 1 \\\\ 3 & 1 & 0 & 3 \\\\ -3 & -1 & -1 & -4 \end{array}\right)
Determine a entrada de C^{-1} na quarta linha e segunda coluna.
(a) 1
(b) -1
(c) não existe C^{-1}
(d) -2
(c) 2

Passo 1

O enunciado dá a matriz
C=\begin{pmatrix} 4 & 1 & 1 & 4 \\\\ 1 & 0 & 0 & 1 \\\\ 3 & 1 & 0 & 3 \\\\ -3 & -1 & -1 & -4 \end{pmatrix}
e pede: determinar a entrada de C^{-1} na quarta linha e segunda coluna. Ou seja, queremos o valor da posição (4,2) da matriz inversa C^{-1}.

Passo 2

Como lembrete (aula rápida): se C é invertível, a coluna j de C^{-1} é exatamente a solução x do sistema linear
C x = e_j,
onde e_j é o vetor coluna com 1 na posição j e zeros nas demais. Isto vem de C C^{-1}=I: multiplicando C pela coluna j de C^{-1} e_j. Portanto, para achar a entrada (4,2) de C^{-1} basta resolver C x = e_2 e ler a quarta componente de x. Vou aplicar isso porque preciso só da coluna 2 da inversa (mais rápido que calcular a inversa inteira).

Passo 3

Escrevamos a incógnita como
x=\begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{pmatrix}, \qquad e_2=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
O sistema C x = e_2 dá, linha a linha,
\begin{cases} 4x_1 + x_2 + x_3 + 4x_4 = 0,\\[4pt] x_1 + 0\cdot x_2 + 0\cdot x_3 + x_4 = 1,\\[4pt] 3x_1 + x_2 + 0\cdot x_3 + 3x_4 = 0,\\[4pt] -3x_1 - x_2 - x_3 -4x_4 = 0. \end{cases}]

Passo 4

Começo pela segunda equação, que é simples. Dela obtemos:
x_1 + x_4 = 1 \quad\Rightarrow\quad x_1 = 1 - x_4.
Vou substituir essa expressão nas outras equações para eliminar x_1.

Passo 5

Substituindo em a primeira equação:
4(1-x_4) + x_2 + x_3 + 4x_4 = 0.
Calcule passo a passo:
4 - 4x_4 + x_2 + x_3 + 4x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad 4 + x_2 + x_3 = 0.
Logo:
x_2 + x_3 = -4.

Passo 6

Substituindo x_1=1-x_4 na terceira equação:
3(1-x_4) + x_2 + 3x_4 = 0.
Desenvolvendo:
3 - 3x_4 + x_2 + 3x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad 3 + x_2 = 0,
portanto
x_2 = -3.

Passo 7

Com x_2=-3 e a relação x_2+x_3=-4 (do Passo 5), obtemos
-3 + x_3 = -4 \quad\Rightarrow\quad x_3 = -1.

Passo 8

Agora usamos a quarta equação, substituindo x_1=1-x_4, x_2=-3 e x_3=-1:
-3(1-x_4) - x_2 - x_3 -4x_4 = 0.
Calculemos:
-3 + 3x_4 -(-3) -(-1) -4x_4 = 0.
Simplificando os sinais:
-3 + 3x_4 +3 +1 -4x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad -x_4 +1 = 0.
Logo
x_4 = 1.

Passo 9

Com x_4=1 podemos voltar e obter x_1:
x_1 = 1 - x_4 = 1 - 1 = 0.
Então a solução do sistema C x = e_2 é
x=\begin{pmatrix}0\\\ -3\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}.
Como essa solução é única (obtivemos valores numéricos sem parâmetros livres), isso também confirma que C é invertível e a coluna 2 de C^{-1} é exatamente este vetor.

Resposta

\,1\,

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