Sejam A e B matrizes 4 \times 4 tais que \operatorname{det}(A)=-2 e \operatorname{det}(B)=5. Calcule
(e) \operatorname{det}\left(A^{3}\right)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta.
  • Matrizes A e B são 4\times4.
  • \det(A) = -2.
  • \det(B) = 5.
  • A pergunta (parte (e)) é: calcular \det\!\big(A^{3}\big).

Passo 2

Conceito e regra que vamos usar (explicado devagar): a função determinante transforma uma matriz quadrada em um número real que, geometricamente, mede o fator de escala (e orientação) que a transformação linear correspondente aplica ao volume. Uma propriedade crucial e muito usada nas provas é a multiplicatividade do determinante:
\det(AB)=\det(A)\cdot\det(B)
Isso significa que, ao compor duas transformações (multiplicar matrizes), o fator de escala total é o produto dos fatores individuais. As variáveis aqui são: A e B são matrizes quadradas compatíveis para multiplicação, e \det(\cdot) é um número (escala volumétrica) associado a cada matriz.
Usando essa propriedade repetidamente, obtemos a regra para potências inteiras positivas: para todo inteiro k\ge1,
\det\big(A^{k}\big)=\det(A)^{k}.
Uma forma de ver isso é por indução: para k=1 é trivial. Se \det(A^{k})=\det(A)^{k}, então
\det\big(A^{k+1}\big)=\det\big(A^{k}A\big)=\det(A^{k})\det(A)=\det(A)^{k}\det(A)=\det(A)^{k+1}.
Portanto a fórmula vale para todo k\ge1.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso com k=3: temos
\det\big(A^{3}\big)=\det(A)^{3}.
Como o enunciado deu \det(A)=-2, substituímos:
\det\big(A^{3}\big)=(-2)^{3}.

Passo 4

Fazendo a conta passo a passo:
(-2)^{2}=4,
e
(-2)^{3}=(-2)^{2}\cdot(-2)=4\cdot(-2)=-8.
Observação rápida: com expoente ímpar o sinal negativo se mantém, por isso o resultado é negativo.

Passo 5

Exemplo concreto para fixar a intuição (não necessário para a resposta, mas útil): se pegarmos a matriz diagonal
A=\begin{pmatrix}-2 & 0 & 0 & 0\\[2pt]0 & 1 & 0 & 0\\[2pt]0 & 0 & 1 & 0\\[2pt]0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix},
então \det(A)=(-2)\cdot1\cdot1\cdot1=-2. Calculando A^{3} obtemos
A^{3}=\begin{pmatrix}-8 & 0 & 0 & 0\\[2pt]0 & 1 & 0 & 0\\[2pt]0 & 0 & 1 & 0\\[2pt]0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix},
e \det(A^{3})=-8, confirmando a regra na prática.]

Resposta

-8

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