Sejam A e B matrizes 4 \times 4 tais que \operatorname{det}(A)=-2 e \operatorname{det}(B)=5. Calcule
(e) \operatorname{det}\left(A^{3}\right)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta.
Matrizes A e B são 4\times4.
\det(A) = -2.
\det(B) = 5.
A pergunta (parte (e)) é: calcular \det\!\big(A^{3}\big).
Passo 2
Conceito e regra que vamos usar (explicado devagar): a função determinante transforma uma matriz quadrada em um número real que, geometricamente, mede o fator de escala (e orientação) que a transformação linear correspondente aplica ao volume. Uma propriedade crucial e muito usada nas provas é a multiplicatividade do determinante:
\det(AB)=\det(A)\cdot\det(B)
Isso significa que, ao compor duas transformações (multiplicar matrizes), o fator de escala total é o produto dos fatores individuais. As variáveis aqui são: A e B são matrizes quadradas compatíveis para multiplicação, e \det(\cdot) é um número (escala volumétrica) associado a cada matriz.
Usando essa propriedade repetidamente, obtemos a regra para potências inteiras positivas: para todo inteiro k\ge1,
\det\big(A^{k}\big)=\det(A)^{k}.
Uma forma de ver isso é por indução: para k=1 é trivial. Se \det(A^{k})=\det(A)^{k}, então