Sejam a e b números reais. Para cada afirmação a seguir, decida se ela é verdadeira ou falsa:
\left(\mathbf{0 , 5}\right. pt) \mathrm{Se}-1<a<0, então \frac{1}{a}<a.

Passo 1

O enunciado dá a condição -1<a<0 e pede para decidir se a afirmação
\frac{1}{a}<a
é verdadeira para todo a que satisfaz essa condição. Ou seja, verificar se a desigualdade vale para todo a\in(-1,0).

Passo 2

Observações úteis sobre a que vêm da hipótese -1<a<0:
  • a é negativo (pois a<0), portanto a\neq0 e 1/a está bem definido.
  • |a|<1, logo
a^2<1.

Passo 3

Vamos transformar a desigualdade desejada de forma algébrica, tomando cuidado com o sinal de a (já que é negativo). Partimos de
\frac{1}{a}<a.
Multiplicando ambos os lados por a (um número negativo) o sentido da desigualdade inverte. Assim obtemos
1>a^2.
Reescrevendo,
a^2<1,
que é exatamente a observação já feita no Passo 2 e é verdadeira para todo a\in(-1,0). Como essa desigualdade é equivalente à original (lembrando a inversão do sinal ao multiplicar por a<0), concluímos que a desigualdade original é satisfeita por todo a no intervalo dado.

Passo 4

Para reforçar a ideia, faço a mesma verificação por outro caminho (algebraicamente idêntico, mas às vezes mais claro): escrevo a diferença
\frac{1}{a}-a=\frac{1-a^2}{a}.
No intervalo -1<a<0 tem-se 1-a^2>0 (porque a^2<1) e a<0. Portanto o quociente \dfrac{1-a^2}{a} é negativo, o que implica
\frac{1}{a}-a<0,
ou seja,
\frac{1}{a}<a.

Passo 5

Um exemplo numérico para intuir: seja a=-\tfrac{1}{2}. Então \dfrac{1}{a}=-2 e comparamos -2<-\tfrac{1}{2}, que é verdade. Isso ilustra o comportamento geral mostrado acima.

Resposta

Verdadeira

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