Sejam
e
números reais. Para cada afirmação a seguir, decida se ela é verdadeira ou falsa:
pt)
, então
.
Passo 1
O enunciado dá a condição
e pede para decidir se a afirmação
é verdadeira para todo
que satisfaz essa condição. Ou seja, verificar se a desigualdade vale para todo
.
Passo 2
Observações úteis sobre
que vêm da hipótese
:
-
é negativo (pois ), portanto e está bem definido. -
, logo
Passo 3
Vamos transformar a desigualdade desejada de forma algébrica, tomando cuidado com o sinal de
(já que é negativo). Partimos de
Multiplicando ambos os lados por
(um número negativo) o sentido da desigualdade inverte. Assim obtemos
Reescrevendo,
que é exatamente a observação já feita no Passo 2 e é verdadeira para todo
. Como essa desigualdade é equivalente à original (lembrando a inversão do sinal ao multiplicar por
), concluímos que a desigualdade original é satisfeita por todo
no intervalo dado.
Passo 4
Para reforçar a ideia, faço a mesma verificação por outro caminho (algebraicamente idêntico, mas às vezes mais claro): escrevo a diferença
No intervalo
tem-se
(porque
) e
. Portanto o quociente
é negativo, o que implica
ou seja,
Passo 5
Um exemplo numérico para intuir: seja
. Então
e comparamos
, que é verdade. Isso ilustra o comportamento geral mostrado acima.
Resposta
Verdadeira