Sejam
e
números reais. Para cada afirmação a seguir, decida se ela é verdadeira ou falsa:
pt) Se
, então
.
Passo 1
O enunciado nos dá a proposição: "Se
, então
". A tarefa é decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Vou listar o que é dado e o que se pede:
- Dado: um número real
que satisfaz . - Pergunta: a implicação
é verdadeira ou falsa?
Passo 2
Vamos entender intuitivamente o que significa estar entre
e
. Números em
são positivos, mas menores que
. Quando se eleva ao quadrado um número nesse intervalo, em geral o resultado fica ainda menor (por exemplo,
ao quadrado vira
). Antes de concluir, porém, é melhor verificar com um exemplo concreto para ver se a afirmação resiste.
Passo 3
Contraexemplo concreto: tome
. Então
e
Comparando,
, ou seja
. Portanto, para
a afirmação
é falsa. Já com este contraexemplo concluímos que a afirmação universal "para todo
com
vale
" é falsa.
Passo 4
Agora uma demonstração geral que mostra por que a desigualdade correta é a inversa. Partindo de
como
podemos multiplicar a desigualdade
por
sem mudar o sinal da desigualdade (importante: multiplicar por número positivo preserva a desigualdade). Assim obtemos
ou seja
Outra forma equivalente e talvez mais direta: calcule
. Como
e
(porque
), o produto
. Logo
, o que implica
. Em ambas as abordagens vemos que o correto é
, contrariamente à afirmação do enunciado.
Passo 5
Observações adicionais para a prova:
- Se
ou a desigualdade estrita também não vale (para tem , para tem ). - Para
ocorre o contrário: . - Tenha sempre em mente: ao multiplicar uma desigualdade por um número positivo o sinal não muda; se multiplicar por número negativo, o sinal inverte — essa regra é muito útil em provas rápidas.
Resposta
Falsa.