Sejam a e b números reais. Para cada afirmação a seguir, decida se ela é verdadeira ou falsa:
\left(\mathbf{0 , 5}\right. pt) Se 0<a<1, então a<a^{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá a proposição: "Se 0<a<1, então a<a^{2}". A tarefa é decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Vou listar o que é dado e o que se pede:
  • Dado: um número real a que satisfaz 0<a<1.
  • Pergunta: a implicação 0<a<1 \Rightarrow a<a^{2} é verdadeira ou falsa?

Passo 2

Vamos entender intuitivamente o que significa estar entre 0 e 1. Números em (0,1) são positivos, mas menores que 1. Quando se eleva ao quadrado um número nesse intervalo, em geral o resultado fica ainda menor (por exemplo, \tfrac{1}{2} ao quadrado vira \tfrac{1}{4}). Antes de concluir, porém, é melhor verificar com um exemplo concreto para ver se a afirmação resiste.

Passo 3

Contraexemplo concreto: tome a=\tfrac{1}{2}. Então
a=\tfrac{1}{2}
e
a^{2}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{4}.
Comparando, \tfrac{1}{2}>\tfrac{1}{4}, ou seja \,a>a^{2}. Portanto, para a=\tfrac{1}{2} a afirmação a<a^{2} é falsa. Já com este contraexemplo concluímos que a afirmação universal "para todo a com 0<a<1 vale a<a^2" é falsa.

Passo 4

Agora uma demonstração geral que mostra por que a desigualdade correta é a inversa. Partindo de
0<a<1,
como a>0 podemos multiplicar a desigualdade a<1 por a sem mudar o sinal da desigualdade (importante: multiplicar por número positivo preserva a desigualdade). Assim obtemos
a\cdot a < 1\cdot a,
ou seja
a^{2}<a.
Outra forma equivalente e talvez mais direta: calcule a-a^{2}=a(1-a). Como a>0 e 1-a>0 (porque a<1), o produto a(1-a)>0. Logo a-a^{2}>0, o que implica a>a^{2}. Em ambas as abordagens vemos que o correto é a^{2}<a, contrariamente à afirmação do enunciado.

Passo 5

Observações adicionais para a prova:
  • Se a=0 ou a=1 a desigualdade estrita a<a^{2} também não vale (para a=0 tem 0=0^{2}, para a=1 tem 1=1^{2}).
  • Para a>1 ocorre o contrário: a^{2}>a.
  • Tenha sempre em mente: ao multiplicar uma desigualdade por um número positivo o sinal não muda; se multiplicar por número negativo, o sinal inverte — essa regra é muito útil em provas rápidas.

Resposta

Falsa.

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