Sejam a e b números reais. Para cada afirmação a seguir, decida se ela é verdadeira ou falsa:
\left(\mathbf{0 , 5}\right. pt) Se 1<a<b, então a^{2}<b^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a condição 1<a<b e pede para decidir se a afirmação a^{2}<b^{2} é verdadeira ou falsa. Ou seja:
  • Dados: 1<a<b.
  • Afirmação a avaliar: a^{2}<b^{2}.

Passo 2

Uma maneira direta é usar a fatoração da diferença de quadrados. Calcule a diferença
b^{2}-a^{2}=(b-a)(b+a).
Agora analisa o sinal de cada fator:
  • Como b>a, tem-se b-a>0.
  • Como a>1 e b>1, tem-se b+a>2>0.
    Portanto, o produto (b-a)(b+a) é positivo, isto é,
b^{2}-a^{2}>0.
Isso significa exatamente que b^{2}>a^{2}, ou seja, a^{2}<b^{2}.

Passo 3

Outra forma de ver (mais teórica): considere a função f(x)=x^{2}. Sua derivada é f'(x)=2x. Para x>0 tem-se f'(x)>0, logo f é estritamente crescente em (0,\infty). Como a e b estão em (1,\infty)\subset(0,\infty) e a<b, a monotonicidade implica a^{2}=f(a)<f(b)=b^{2}.

Passo 4

Um exemplo numérico simples para fixar a ideia: escolha a=2 e b=3. Então 1<a<b e a^{2}=4, b^{2}=9, de modo que 4<9. Isso ilustra o resultado e dá confiança prática.

Resposta

Verdadeira.

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