Sejam A e B dois polígonos convexos tais que A \subset B. Mostre que o perímetro de A é menor (ou igual, se A=B ) que o de B.

Passo 1

O enunciado dá duas informações claras:
  • Existem dois polígonos convexos A e B.
  • Sabe-se que A\subset B.
O que a questão pede:
  • Mostrar que o perímetro de A é menor ou igual ao perímetro de B. Em símbolos, provar que
P(A)\le P(B).
Informações relevantes que já temos (e que vamos usar mais à frente):
  • Por “perímetro” de um polígono entende-se a soma dos comprimentos dos seus lados.
  • A inclusão A\subset B será usada para comparar, em cada direção, as projeções (ou “larguras”) dos dois polígonos.

Passo 2

Definições úteis e observação imediata sobre projeções:
  • Para um conjunto convexo K no plano e um ângulo \theta, defina w_K(\theta) como o comprimento do segmento obtido projetando K ortogonalmente sobre a reta de direção \theta. Esse w_K(\theta) é chamado de largura (ou projeção) de K na direção \theta.
  • Observação simples: se A\subset B então, para toda direção \theta,
w_A(\theta)\le w_B(\theta),
pois a projeção é monotônica: a projeção de um subconjunto está contida na projeção do conjunto maior, logo seu comprimento não pode ser maior.

Passo 3

Estratégia: usar a relação que conecta perímetro e larguras (fórmula de Cauchy para polígonos).
  • Existe uma fórmula simples e muito útil para polígonos convexos: o perímetro P(K) do polígono convexo K é a integral das larguras ao longo de todas as direções entre 0 e \pi:
P(K)=\int_{0}^{\pi} w_K(\theta)\,d\theta.
  • Vou provar essa identidade para polígonos pois ela é elementar e suficiente para resolver o problema.

Passo 4

Prova da fórmula de Cauchy para polígonos convexos (passo-a-passo e bem visual):
  • Seja K um polígono convexo com vértices V_1,V_2,\dots,V_n percorridos no sentido horário, e lados de comprimentos s_1,s_2,\dots,s_n. Seja \alpha_i a direção (ângulo) do lado i medido em relação ao eixo x (ou seja, o vetor de lado tem orientação \alpha_i).
  • Para uma direção fixa \theta, projete ortogonalmente todos os vértices sobre a reta de direção \theta e chame as coordenadas projetadas (num eixo coordenado nessa reta) de x_1,x_2,\dots,x_n.
  • A largura w_K(\theta) é exatamente
w_K(\theta)=\max_j x_j-\min_j x_j.
  • Agora considere as diferenças sucessivas x_{j+1}-x_j (com x_{n+1}=x_1 pela ciclosidade). Pelo fato do polígono fechar, a soma das diferenças orientadas é zero:
\sum_{j=1}^n (x_{j+1}-x_j)=0.
  • Separe as diferenças em positivas e negativas. A soma das partes positivas é igual (em módulo) à soma das partes negativas, e essa soma comum é exatamente \max_j x_j-\min_j x_j = w_K(\theta). Portanto
\sum_{j=1}^n |x_{j+1}-x_j| = 2 w_K(\theta).
  • Mas x_{j+1}-x_j é a projeção do vetor lado j sobre a reta, logo |x_{j+1}-x_j| = s_j \big|\cos(\theta-\alpha_j)\big|. Assim
2 w_K(\theta)=\sum_{j=1}^n s_j \big|\cos(\theta-\alpha_j)\big|.
  • Reorganizando,
w_K(\theta)=\frac{1}{2}\sum_{j=1}^n s_j \big|\cos(\theta-\alpha_j)\big|.
Esta fórmula é exatamente a expressão da largura em termos das projeções dos lados.

Passo 5

Integração para obter o perímetro:
  • Integre ambos os lados da expressão anterior em \theta de 0 a \pi:
\int_{0}^{\pi} w_K(\theta)\,d\theta = \frac{1}{2}\sum_{j=1}^n s_j \int_{0}^{\pi} \big|\cos(\theta-\alpha_j)\big|\,d\theta.
  • A integral \int_{0}^{\pi} \big|\cos(\theta-\alpha_j)\big|\,d\theta independe de \alpha_j (por periodicidade e simetria) e vale 2. (Verificação rápida: a função |\cos u| tem período \pi e em um período sua integral é 2.)
  • Assim cada termo da soma contribui com \frac{1}{2}s_j\cdot 2 = s_j. Portanto
\int_{0}^{\pi} w_K(\theta)\,d\theta = \sum_{j=1}^n s_j = P(K).
  • Concluímos a fórmula desejada para polígonos convexos:
P(K)=\int_{0}^{\pi} w_K(\theta)\,d\theta.

Passo 6

Concluir a desigualdade usando monotonicidade das larguras:
  • Já vimos no Passo 2 que, para todo \theta,
w_A(\theta)\le w_B(\theta).
  • Integre essa desigualdade em \theta de 0 a \pi. Usando a fórmula do Passo 5 para os perímetros, obtém-se
P(A)=\int_{0}^{\pi} w_A(\theta)\,d\theta \le \int_{0}^{\pi} w_B(\theta)\,d\theta = P(B).
  • Portanto P(A)\le P(B). Sobre igualdade: se P(A)=P(B) então w_A(\theta)=w_B(\theta) para quase todo \theta; para corpos convexos (e polígonos) as larguras determinam o corpo, o que implica A=B. Mas como o enunciado pede apenas “menor (ou igual, se A=B)”, a desigualdade obtida resolve a questão.

Resposta

P(A)\le P(B)

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