Sejam
e
dois polígonos convexos tais que
. Mostre que o perímetro de
é menor (ou igual, se
) que o de
.
Passo 1
O enunciado dá duas informações claras:
- Existem dois polígonos convexos
e . - Sabe-se que
.
O que a questão pede:
- Mostrar que o perímetro de
é menor ou igual ao perímetro de . Em símbolos, provar que
Informações relevantes que já temos (e que vamos usar mais à frente):
- Por “perímetro” de um polígono entende-se a soma dos comprimentos dos seus lados.
- A inclusão
será usada para comparar, em cada direção, as projeções (ou “larguras”) dos dois polígonos.
Passo 2
Definições úteis e observação imediata sobre projeções:
- Para um conjunto convexo
no plano e um ângulo , defina como o comprimento do segmento obtido projetando ortogonalmente sobre a reta de direção . Esse é chamado de largura (ou projeção) de na direção . - Observação simples: se
então, para toda direção ,
pois a projeção é monotônica: a projeção de um subconjunto está contida na projeção do conjunto maior, logo seu comprimento não pode ser maior.
Passo 3
Estratégia: usar a relação que conecta perímetro e larguras (fórmula de Cauchy para polígonos).
- Existe uma fórmula simples e muito útil para polígonos convexos: o perímetro
do polígono convexo é a integral das larguras ao longo de todas as direções entre e :
- Vou provar essa identidade para polígonos pois ela é elementar e suficiente para resolver o problema.
Passo 4
Prova da fórmula de Cauchy para polígonos convexos (passo-a-passo e bem visual):
- Seja
um polígono convexo com vértices percorridos no sentido horário, e lados de comprimentos . Seja a direção (ângulo) do lado medido em relação ao eixo (ou seja, o vetor de lado tem orientação ). - Para uma direção fixa
, projete ortogonalmente todos os vértices sobre a reta de direção e chame as coordenadas projetadas (num eixo coordenado nessa reta) de . - A largura
é exatamente
- Agora considere as diferenças sucessivas
(com pela ciclosidade). Pelo fato do polígono fechar, a soma das diferenças orientadas é zero:
- Separe as diferenças em positivas e negativas. A soma das partes positivas é igual (em módulo) à soma das partes negativas, e essa soma comum é exatamente
. Portanto
- Mas
é a projeção do vetor lado sobre a reta, logo . Assim
- Reorganizando,
Esta fórmula é exatamente a expressão da largura em termos das projeções dos lados.
Passo 5
Integração para obter o perímetro:
- Integre ambos os lados da expressão anterior em
de a :
- A integral
independe de (por periodicidade e simetria) e vale . (Verificação rápida: a função tem período e em um período sua integral é .) - Assim cada termo da soma contribui com
. Portanto
- Concluímos a fórmula desejada para polígonos convexos:
Passo 6
Concluir a desigualdade usando monotonicidade das larguras:
- Já vimos no Passo 2 que, para todo
,
- Integre essa desigualdade em
de a . Usando a fórmula do Passo 5 para os perímetros, obtém-se
- Portanto
. Sobre igualdade: se então para quase todo ; para corpos convexos (e polígonos) as larguras determinam o corpo, o que implica . Mas como o enunciado pede apenas “menor (ou igual, se )”, a desigualdade obtida resolve a questão.