Sejam B_{1}=\{(1,0),(0,1)\}, B_{2}=\{(-1,1),(1,1)\} e B_{3}=\{(\sqrt{3}, 1),(\sqrt{3},-1)\} bases ordenadas de \mathbb{R}^{2}.
(a) Ache as matrizes de mudança de base:
i. [I]_{B_{2}}^{B_{1}}
ii. [I]_{B_{1}}^{B_{2}}
iii. [I]_{B_{1}}^{B_{3}}
(b) Quais são as coordenadas do vetor v=(3,-2) em relação à base:
i. B_{1}
ii. B_{2}
iii. $B_{3}
Passo 1
O enunciado dá três bases ordenadas de \mathbb{R}^2:
(a) as matrizes de mudança de base:
i. [I]_{B_{2}}^{B_{1}},
ii. [I]_{B_{1}}^{B_{2}},
iii. [I]_{B_{1}}^{B_{3}}.
(b) as coordenadas do vetor v=(3,-2) em relação às bases B_{1},B_{2},B_{3}.
As informações relevantes entregues pelo enunciado são exatamente as componentes dos vetores que formam cada base e o vetor v. A resolução começa a seguir.
Passo 2
Vou usar a seguinte convenção (muito comum e prática): para qualquer bases A e B de um espaço vetorial, [I]_{B}^{A} é a matriz da identidade que transforma coordenadas em base A em coordenadas em base B. Em outras palavras, se x é um vetor e [x]_{A} são suas coordenadas em A, então
[I]_{B}^{A}\,[x]_{A} = [x]_{B}.
Com essa definição, as colunas de [I]_{B}^{A} são justamente as coordenadas, na base B, dos vetores da base A. Vou aplicar isso para cada item.
Passo 3
Calcular [[I]{B{2}}^{B_{1}}). Pela convenção, preciso escrever os vetores da base B_{1} (que são (1,0) e (0,1)) como combinações lineares dos vetores de B_{2}, que chamarei de b_{2}^{(1)}=(-1,1) e b_{2}^{(2)}=(1,1).
Para (1,0) busco escalares a,b tais que
a(-1,1)+b(1,1)=(1,0).
Escrevendo as coordenadas isso dá o sistema
\begin{cases} - a + b = 1,\\[4pt] a + b = 0. \end{cases}
Somando as duas equações: -a+b+a+b = 1+0 \Rightarrow 2b=1 \Rightarrow b=\tfrac{1}{2}\].
Então \[a = -b = -\tfrac{1}{2}.
Portanto as coordenadas de (1,0) em B_{2} são \big(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\big).
Para (0,1) buscamos a,b com
a(-1,1)+b(1,1)=(0,1),
o que dá
\begin{cases} - a + b = 0,\\[4pt] a + b = 1. \end{cases}
Somando: 2b=1\Rightarrow b=\tfrac{1}{2}\]. Então \(a=b=\tfrac{1}{2}.
As coordenadas de (0,1) em B_{2} são \big(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\big).
Agora monto a matriz cujas colunas são essas coordenadas (primeira coluna para o primeiro vetor de B_{1}, segunda coluna para o segundo):
Calcular [I]_{B_{1}}^{B_{2}}. Pela convenção, as colunas são as coordenadas dos vetores de B_{2} expressos na base B_{1}. Como B_{1} é a base canônica, as coordenadas dos vetores de B_{2} são simplesmente suas componentes usuais:
Observação (útil para conferir): essas duas matrizes são inversas entre si. Se multiplicarmos [I]_{B_{1}}^{B_{2}} por [I]_{B_{2}}^{B_{1}} obtemos a identidade 2\times2; isso confirma coerência.]
Passo 5
Calcular [I]_{B_{1}}^{B_{3}}. Pela convenção, as colunas são as coordenadas dos vetores de B_{3} expressos na base B_{1} (a canônica). Os vetores de B_{3} são (\sqrt{3},1) e (\sqrt{3},-1). Portanto a matriz que converte coordenadas em B_{3} para coordenadas em B_{1} é simplesmente formada por essas colunas: