Verifique se \{(1,0),(0,1),(1,2)\} é LI e se gera o \mathbb{R}^{2}. Podemos afirmar que este conjunto determina uma base do \mathbb{R}^{2} ? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de vetores
S=\{(1,0),(0,1),(1,2)\}
no espaço \mathbb{R}^2 e pede três coisas:
  1. Verificar se S é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD).
  2. Verificar se S gera (ou seja, se o span de S é) \mathbb{R}^2.
  3. Dizer se S determina uma base de \mathbb{R}^2 e justificar.
Informações relevantes fornecidas: os três vetores explícitos (1,0), (0,1) e (1,2). Não há outras restrições ou dados.

Passo 2

Vou revisar, de forma bem clara e prática, as definições que vou usar — isso é essencial para a prova.
Definição de combinação linear:
\text{Uma combinação linear de vetores }v_1,v_2,\dots,v_k\text{ é }a_1v_1+\cdots+a_kv_k,çãé
onde a_1,\dots,a_k são escalares (no nosso caso números reais).
Definição de dependência/independência linear:
\text{Os vetores }v_1,\dots,v_k\text{ são linearmente independentes se a única solução do sistema }a_1v_1+\cdots+a_kv_k=0\text{ for }a_1=\cdots=a_k=0.ãúçã
Se existe uma solução com alguns coeficientes não nulos, então são linearmente dependentes.
Definição de gerador (span):
\text{O span de }S=\{v_1,\dots,v_k\}\text{ é o conjunto de todas as combinações lineares }a_1v_1+\cdots+a_kv_k.éçõ
Dizemos que S gera \mathbb{R}^2 se todo vetor (x,y)\in\mathbb{R}^2 pode ser escrito como uma combinação linear de vetores de S.
Definição de base:
\text{Uma base de }\mathbb{R}^2\text{ é um conjunto de vetores que é simultaneamente linearmente independente e gera } \mathbb{R}^2.éé
Observação prática: em \mathbb{R}^2 uma base tem exatamente dois vetores linearmente independentes.
Agora aplico essas definições ao conjunto dado.

Passo 3

Vou testar primeira a (in)dependência linear de S\). Considero coeficientes \(a,b,c\in\mathbb{R}\) e a combinação linear que iguala ao vetor nulo: \[a(1,0)+b(0,1)+c(1,2)=(0,0).
Faço a soma componente a componente (isto é, somo as primeiras componentes e as segundas componentes separadamente). A soma dá:
(a+c,\; b+2c)=(0,0).
Isso gera o sistema de equações:
\begin{cases} a+c=0,\\[4pt] b+2c=0. \end{cases}
Agora resolvo esse sistema em função de c\]. Da primeira equação tenho \(a=-c. Da segunda, b=-2c. Ou seja, para qualquer escolha de c os coeficientes
a=-c,\quad b=-2c,\quad c=c
satisfazem a igualdade. Em particular, se eu escolher c=1 obtenho a solução não trivial
a=-1,\quad b=-2,\quad c=1,
pois
-1(1,0)+(-2)(0,1)+1(1,2)=(-1+1,\; -2+2)=(0,0).
Ter encontrado uma solução com coeficientes não todos nulos significa que os vetores de S são linearmente dependentes.
Observação útil (para prova): também existe um fato geral fácil de lembrar e usar na prova — em \mathbb{R}^n qualquer conjunto com mais de n vetores é necessariamente linearmente dependente. Aqui n=2 e temos 3 vetores, então isso já garante dependência; mas fiz o cálculo explícito para mostrar a combinação não trivial.]

Passo 4

Agora verifico se S gera \mathbb{R}^2. Pelo significado de “gera”, preciso checar se um vetor arbitrário (x,y)\in\mathbb{R}^2 pode ser escrito como combinação linear dos vetores de S.
Note que os vetores (1,0) e (0,1) pertencem a S. Para qualquer (x,y) eu posso escrever imediatamente:
(x,y)=x(1,0)+y(0,1)+0\cdot(1,2).
Isto é uma combinação linear dos vetores de S. Portanto qualquer (x,y)\in\mathbb{R}^2 está no span de S, logo
\text{span}(S)=\mathbb{R}^2.
Outra forma curta de ver isso: como (1,0) e (0,1) formam a base canônica de \mathbb{R}^2 e ambos estão em S, o span de S contém a base canônica e assim contém todo \mathbb{R}^2.

Passo 5

Relembrando a definição de base: um conjunto é base se e só se for linearmente independente e gerar o espaço.
Temos:
  • S gera \mathbb{R}^2 (Passo 4).
  • S é linearmente dependente (Passo 3).
Logo S não satisfaz simultaneamente as duas condições necessárias para ser base. Portanto S não é uma base de \mathbb{R}^2.
Complemento útil para prova: em \mathbb{R}^2 qualquer base tem exatamente 2 vetores. O conjunto S tem 3 vetores e é dependente; podemos retirar o vetor que é combinação dos outros (aqui, (1,2)=(1,0)+2(0,1)) e obter a base \{(1,0),(0,1)\}. Isso mostra concretamente que S gera \mathbb{R}^2 mas não é minimal (tem redundância).

Resposta

\{(1,0),(0,1),(1,2)\} é linearmente dependente.
\{(1,0),(0,1),(1,2)\} gera \mathbb{R}^{2}.
Não — esse conjunto não determina uma base de \mathbb{R}^{2} (gera, mas não é linearmente independente).

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