Verifique se
é LI e se gera o
. Podemos afirmar que este conjunto determina uma base do
? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto de vetores
no espaço
e pede três coisas:
- Verificar se
é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). - Verificar se
gera (ou seja, se o span de é) . - Dizer se
determina uma base de e justificar.
Informações relevantes fornecidas: os três vetores explícitos
,
e
. Não há outras restrições ou dados.
Passo 2
Vou revisar, de forma bem clara e prática, as definições que vou usar — isso é essencial para a prova.
Definição de combinação linear:
onde
são escalares (no nosso caso números reais).
Definição de dependência/independência linear:
Se existe uma solução com alguns coeficientes não nulos, então são linearmente dependentes.
Definição de gerador (span):
Dizemos que
gera
se todo vetor
pode ser escrito como uma combinação linear de vetores de
.
Definição de base:
Observação prática: em
uma base tem exatamente dois vetores linearmente independentes.
Agora aplico essas definições ao conjunto dado.
Passo 3
Vou testar primeira a (in)dependência linear de
Faço a soma componente a componente (isto é, somo as primeiras componentes e as segundas componentes separadamente). A soma dá:
Isso gera o sistema de equações:
Agora resolvo esse sistema em função de
. Da segunda,
. Ou seja, para qualquer escolha de
os coeficientes
satisfazem a igualdade. Em particular, se eu escolher
obtenho a solução não trivial
pois
Ter encontrado uma solução com coeficientes não todos nulos significa que os vetores de
são linearmente dependentes.
Observação útil (para prova): também existe um fato geral fácil de lembrar e usar na prova — em
qualquer conjunto com mais de
vetores é necessariamente linearmente dependente. Aqui
e temos 3 vetores, então isso já garante dependência; mas fiz o cálculo explícito para mostrar a combinação não trivial.]
Passo 4
Agora verifico se
gera
. Pelo significado de “gera”, preciso checar se um vetor arbitrário
pode ser escrito como combinação linear dos vetores de
.
Note que os vetores
e
pertencem a
. Para qualquer
eu posso escrever imediatamente:
Isto é uma combinação linear dos vetores de
. Portanto qualquer
está no span de
, logo
Outra forma curta de ver isso: como
e
formam a base canônica de
e ambos estão em
, o span de
contém a base canônica e assim contém todo
.
Passo 5
Relembrando a definição de base: um conjunto é base se e só se for linearmente independente e gerar o espaço.
Temos:
-
gera (Passo 4). -
é linearmente dependente (Passo 3).
Logo
não satisfaz simultaneamente as duas condições necessárias para ser base. Portanto
não é uma base de
.
Complemento útil para prova: em
qualquer base tem exatamente 2 vetores. O conjunto
tem 3 vetores e é dependente; podemos retirar o vetor que é combinação dos outros (aqui,
) e obter a base
. Isso mostra concretamente que
gera
mas não é minimal (tem redundância).
Resposta
Não — esse conjunto não determina uma base de