Verifique se \{(1,2,0),(1,2,3),(3,4,5)\} é uma base de \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto \{(1,2,0),(1,2,3),(3,4,5)\} é uma base de \mathbb{R}^{3}.
Informações dadas: os três vetores são
v_{1}=(1,2,0),\qquad v_{2}=(1,2,3),\qquad v_{3}=(3,4,5).
Pergunta explícita: esses vetores formam uma base de \mathbb{R}^{3}?

Passo 2

O que significa ser uma base? Vou explicar devagar e com jeitinho: um conjunto de vetores é base de \mathbb{R}^{3} quando (i) são linearmente independentes e (ii) geram (span) todo \mathbb{R}^{3}. Aqui temos três vetores em \mathbb{R}^{3}. Uma propriedade muito útil que vou usar é: se três vetores em \mathbb{R}^{3} são linearmente independentes, então automaticamente eles geram \mathbb{R}^{3}, logo são uma base. Portanto basta checar a independência linear. Uma forma prática de checar independência linear é montar a matriz cujas colunas são os vetores e calcular o determinante: se o determinante for diferente de zero, as colunas são linearmente independentes (a matriz é invertível). Vou aplicar esse método porque é direto e calculável à mão.

Passo 3

Formo a matriz A colocando v_{1},v_{2},v_{3} como colunas:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3\\[4pt] 2 & 2 & 4\\[4pt] 0 & 3 & 5 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculo o determinante de A. Vou usar a expansão pela primeira linha (fórmula padrão para 3×3). Escrevo o determinante como soma de cofatores:
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 4\\[4pt]3 & 5\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 4\\[4pt]0 & 5\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix}.
Agora calculo cada menor 2×2:
\det\begin{pmatrix}2 & 4\\[4pt]3 & 5\end{pmatrix}=2\cdot5-4\cdot3=10-12=-2,
\det\begin{pmatrix}2 & 4\\[4pt]0 & 5\end{pmatrix}=2\cdot5-4\cdot0=10,
\det\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix}=2\cdot3-2\cdot0=6.]

Passo 5

Substituo os valores na expressão do determinante:
\det(A)=1\cdot(-2)-1\cdot(10)+3\cdot(6)=-2-10+18=6.
Como \det(A)=6\neq0, a matriz A é invertível e, portanto, as colunas v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes. Pelo argumento já citado, três vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^{3} geram todo \mathbb{R}^{3}. Conclusão: o conjunto forma uma base de \mathbb{R}^{3}.

Resposta

Sim, \{(1,2,0),(1,2,3),(3,4,5)\} é uma base de \mathbb{R}^{3}.

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