Pergunta explícita: esses vetores formam uma base de \mathbb{R}^{3}?
Passo 2
O que significa ser uma base? Vou explicar devagar e com jeitinho: um conjunto de vetores é base de \mathbb{R}^{3} quando (i) são linearmente independentes e (ii) geram (span) todo \mathbb{R}^{3}. Aqui temos três vetores em \mathbb{R}^{3}. Uma propriedade muito útil que vou usar é: se três vetores em \mathbb{R}^{3} são linearmente independentes, então automaticamente eles geram \mathbb{R}^{3}, logo são uma base. Portanto basta checar a independência linear. Uma forma prática de checar independência linear é montar a matriz cujas colunas são os vetores e calcular o determinante: se o determinante for diferente de zero, as colunas são linearmente independentes (a matriz é invertível). Vou aplicar esse método porque é direto e calculável à mão.
Passo 3
Formo a matriz A colocando v_{1},v_{2},v_{3} como colunas:
Como \det(A)=6\neq0, a matriz A é invertível e, portanto, as colunas v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes. Pelo argumento já citado, três vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^{3} geram todo \mathbb{R}^{3}. Conclusão: o conjunto forma uma base de \mathbb{R}^{3}.
Resposta
Sim, \{(1,2,0),(1,2,3),(3,4,5)\} é uma base de \mathbb{R}^{3}.