Sejam
, mostre que
Sejam
, mostre que
Sejam
Passo 1
O enunciado pede para provar a lei de De Morgan para um número finito de conjuntos. Mais precisamente, dado um espaço
e conjuntos
, mostrar que
Para isso vamos usar o método do “element‐chasing”: escolher um elemento arbitrário
e verificar as duas inclusões.
Passo 2
Provar
.
Seja . Por definição de complemento,
Seja
Como
não pertence à interseção de todos os
, existe pelo menos um índice
tal que
Logo
, e portanto
Isso mostra a inclusão desejada.
Passo 3
Provar
.
Seja . Então existe um índice
tal que
Seja
isto é,
. Mas se
não pertence a
, ele não pode pertencer à interseção
. Logo
Isso estabelece a segunda inclusão.
Passo 4
Como mostramos as duas inclusões
podemos concluir que os dois conjuntos são iguais.