Sejam A, B \subset X, mostre que
Sejam A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n} \subset X, mostre que
\left(\bigcap_{i=1}^{n} A_{i}\right)^{c}=\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}^{c} .

Passo 1

O enunciado pede para provar a lei de De Morgan para um número finito de conjuntos. Mais precisamente, dado um espaço X e conjuntos A_{1},A_{2},\dots,A_{n}\subset X, mostrar que
\bigl(\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\bigr)^{c} = \bigcup_{i=1}^{n}A_{i}^{c}.
Para isso vamos usar o método do “element‐chasing”: escolher um elemento arbitrário x\in X e verificar as duas inclusões.

Passo 2

Provar \displaystyle\bigl(\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\bigr)^{c}\subseteq\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}^{c}.
Seja x\in\bigl(\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\bigr)^{c}. Por definição de complemento,
x\notin\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}.
Como x não pertence à interseção de todos os A_{i}, existe pelo menos um índice j tal que
x\notin A_{j}.
Logo x\in A_{j}^{c}, e portanto
x\in\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}^{c}.
Isso mostra a inclusão desejada.

Passo 3

Provar \displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}^{c}\subseteq\bigl(\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\bigr)^{c}.
Seja x\in\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}^{c}. Então existe um índice k tal que
x\in A_{k}^{c},
isto é, x\notin A_{k}. Mas se x não pertence a A_{k}, ele não pode pertencer à interseção \bigcap_{i=1}^{n}A_{i}. Logo
x\in\bigl(\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\bigr)^{c}.
Isso estabelece a segunda inclusão.

Passo 4

Como mostramos as duas inclusões
\bigl(\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\bigr)^{c}\subseteq\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}^{c} \quad\text{e}\quad \bigcup_{i=1}^{n}A_{i}^{c}\subseteq\bigl(\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\bigr)^{c},
podemos concluir que os dois conjuntos são iguais.

Resposta

\bigl(\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\bigr)^{c} = \bigcup_{i=1}^{n}A_{i}^{c}.

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