Sejam 
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos dois vetores dados:
Queremos encontrar um vetor 
- 
é ortogonal a . 
- 
é ortogonal a . 
- O tamanho de 
é . 
- 
e formam um ângulo agudo. 
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, como ortogonalidade e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a condição de ortogonalidade. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Então, temos:
Vamos expandir essas equações.
Passo 3
Expandindo a primeira equação:
Sabemos que 
Calculando 
Então:
Passo 4
Fazendo o mesmo para a segunda equação:
Então:
Calculando 
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos representar 
Para 
Para 
Passo 6
Temos agora um sistema de duas equações:
Podemos expressar 
Passo 7
Agora, usamos a condição do tamanho do vetor 
Isso significa que:
Substituindo 
Passo 8
Expandindo os quadrados:
Somando os termos semelhantes:
Passo 9
Subtraindo 11 de ambos os lados para igualar a equação a zero:
Passo 10
Resolvemos a equação quadrática para 
Então, temos duas soluções:
Passo 11
Vamos considerar cada caso para encontrar 
Caso 1: 
Então, 
Caso 2: 
Então, 
Passo 12
Agora, devemos verificar qual das soluções forma um ângulo agudo com 
Calculamos 
Caso 1:
Caso 2:
Ambas as soluções satisfazem a condição do ângulo agudo.
Resposta
Os vetores que satisfazem todas as condições são:
