Q1: Sejam \beta=\left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} uma base de \mathbb{R}^{2}, \vec{u}=(-3,-1) e \vec{v}=(-4,-3). Se as coordenadas na base \beta destes vetores são [\vec{u}]_{\beta}=(3,-4) e [\vec{v}]_{\beta}=(-1,3), então \vec{b}_{1} é:
(A) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -4\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -3\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -2\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -1\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{c}* \\\\ 0\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 1\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 2\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 3\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem precisa.
Dados:
\beta=\{\vec{b}_1,\vec{b}_2\} é uma base de \mathbb{R}^2.
\vec{u}=(-3,-1).
\vec{v}=(-4,-3).
As coordenadas na base \beta são [\vec{u}]_{\beta}=(3,-4) e [\vec{v}]_{\beta}=(-1,3).
Pedido:
Determinar \vec{b}_1. (As alternativas fornecem apenas a segunda componente de \vec{b}_1; a primeira componente está com um “*”.)
Passo 2
Entendendo o que significam as coordenadas em relação a uma base (explicação didática e prática).
Se [\vec{u}]_{\beta}=(3,-4), isso quer dizer que, quando escrevemos \vec{u} como combinação linear dos vetores da base \beta, os coeficientes são 3 e -4. Em símbolos:
\vec{b}_1 = \begin{pmatrix} x \\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\\\ -3 \end{pmatrix}.
(Fazendo um chequinho rápido: com x=-5,y=-3 obtemos s=(x-4)/3=(-5-4)/3=-3 e t=(y-3)/3=(-3-3)/3=-2, então \vec{b}_2 =(-3,-2). Verificando: 3\vec{b}_1-4\vec{b}_2 = (-3,-1) e -\vec{b}_1+3\vec{b}_2 = (-4,-3) — ok.)
Passo 6
Comparando com as alternativas (que só mostram a segunda componente de \vec{b}_1), a segunda componente é -3, o que corresponde à alternativa (B).