Q1: Sejam \beta=\left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} uma base de \mathbb{R}^{2}, \vec{u}=(-3,-1) e \vec{v}=(-4,-3). Se as coordenadas na base \beta destes vetores são [\vec{u}]_{\beta}=(3,-4) e [\vec{v}]_{\beta}=(-1,3), então \vec{b}_{1} é:
(A) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -4\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -3\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -2\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -1\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{c}* \\\\ 0\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 1\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 2\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem precisa.
  • Dados:
    • \beta=\{\vec{b}_1,\vec{b}_2\} é uma base de \mathbb{R}^2.
    • \vec{u}=(-3,-1).
    • \vec{v}=(-4,-3).
    • As coordenadas na base \beta são [\vec{u}]_{\beta}=(3,-4) e [\vec{v}]_{\beta}=(-1,3).
  • Pedido:
    • Determinar \vec{b}_1. (As alternativas fornecem apenas a segunda componente de \vec{b}_1; a primeira componente está com um “*”.)

Passo 2

Entendendo o que significam as coordenadas em relação a uma base (explicação didática e prática).
  • Se [\vec{u}]_{\beta}=(3,-4), isso quer dizer que, quando escrevemos \vec{u} como combinação linear dos vetores da base \beta, os coeficientes são 3 e -4. Em símbolos:
\vec{u} = 3\,\vec{b}_1 + (-4)\,\vec{b}_2 = 3\vec{b}_1 - 4\vec{b}_2.
  • De modo análogo, [\vec{v}]_{\beta}=(-1,3) significa:
\vec{v} = -1\cdot\vec{b}_1 + 3\cdot\vec{b}_2 = -\vec{b}_1 + 3\vec{b}_2.
Isso é tudo: coordenadas na base indicam os coeficientes da combinação linear dos vetores da base que produzem o vetor em coordenadas padrão.

Passo 3

Vamos traduzir as relações acima em equações concretas de componentes. Seja
\vec{b}_1 = \begin{pmatrix} x \\\ y \end{pmatrix},\qquad \vec{b}_2 = \begin{pmatrix} s \\\ t \end{pmatrix}.
Usando as igualdades de \vec{u} e \vec{v} em componentes:
3\vec{b}_1 - 4\vec{b}_2 = \vec{u} = \begin{pmatrix}-3\\\ -1\end{pmatrix},
-\vec{b}_1 + 3\vec{b}_2 = \vec{v} = \begin{pmatrix}-4\\\ -3\end{pmatrix}.
Escrevendo por componente, obtemos o sistema:
\begin{cases} 3x - 4s = -3,\\[4pt] 3y - 4t = -1, \end{cases} \qquad \begin{cases} - x + 3s = -4,\\[4pt] - y + 3t = -3. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema. Primeiro isolamos s e t a partir das equações do segundo par:
- x + 3s = -4 \implies 3s = x - 4 \implies s = \frac{x-4}{3},
- y + 3t = -3 \implies 3t = y - 3 \implies t = \frac{y-3}{3}.
Agora substituímos s e t nas equações do primeiro par:
3x - 4\left(\frac{x-4}{3}\right) = -3,\qquad 3y - 4\left(\frac{y-3}{3}\right) = -1.
Multiplicando cada equação por 3 para evitar frações:
9x - 4(x-4) = -9,\qquad 9y - 4(y-3) = -3.
Desenvolvendo:
9x - 4x + 16 = -9 \implies 5x + 16 = -9 \implies 5x = -25 \implies x = -5,
9y - 4y + 12 = -3 \implies 5y + 12 = -3 \implies 5y = -15 \implies y = -3.

Passo 5

Concluímos que
\vec{b}_1 = \begin{pmatrix} x \\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\\\ -3 \end{pmatrix}.
(Fazendo um chequinho rápido: com x=-5,y=-3 obtemos s=(x-4)/3=(-5-4)/3=-3 e t=(y-3)/3=(-3-3)/3=-2, então \vec{b}_2 =(-3,-2). Verificando: 3\vec{b}_1-4\vec{b}_2 = (-3,-1) e -\vec{b}_1+3\vec{b}_2 = (-4,-3) — ok.)

Passo 6

Comparando com as alternativas (que só mostram a segunda componente de \vec{b}_1), a segunda componente é -3, o que corresponde à alternativa (B).

Resposta

(B) \begin{pmatrix}-5 \\\\ -3\end{pmatrix}

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