Q18: Considere os subespaços de \mathbb{R}^{3} :
\begin{gathered} H=\operatorname{span}\{(2,1,1),(-3,-1,-3)\} \text { e } \\\ M=\operatorname{span}\{(-2,5,1)\} . \end{gathered}
Encontre o único vetor \vec{x} \in M^{\perp} \cap H da forma \vec{x}=\left(-2, x_{2}, x_{3}\right). O valor de x_{3} é:
(A) -10
(B) -9
(C) -8
(D) -7
(E) -6
(F) -5
(G) -4
(H) -3

Passo 1

O enunciado dá os subespaços de \mathbb{R}^3:
H=\operatorname{span}\{(2,1,1),(-3,-1,-3)\}
e
M=\operatorname{span}\{(-2,5,1)\}.
Pede-se encontrar o único vetor \vec{x} que pertence a M^{\perp}\cap H e que tem a forma \vec{x}=\left(-2,x_{2},x_{3}\right).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • \vec{x}\in H implica que existem escalares a,b tais que \vec{x}=a(2,1,1)+b(-3,-1,-3).
  • \vec{x}\in M^{\perp} significa que \vec{x} é ortogonal a (-2,5,1), isto é, \vec{x}\cdot(-2,5,1)=0.
  • Além disso, a primeira componente de \vec{x} é -2.
    Objetivo: determinar x_{3} (e, no caminho, x_{2}).

Passo 2

Expressamos \vec{x} como combinação linear dos geradores de H. Seja v_{1}=(2,1,1) e v_{2}=(-3,-1,-3). Então, para certos a,b\in\mathbb{R},
\vec{x}=a v_{1}+b v_{2}.
Calculando componente a componente obtemos
\vec{x}=(2a-3b,\; a-b,\; a-3b).

Passo 3

Usamos a condição da primeira componente: a primeira componente de \vec{x} é -2. Assim
2a-3b=-2.
Esta é a primeira equação no sistema para a e b.

Passo 4

Usamos a condição de ortogonalidade a m=(-2,5,1). Primeiro, calculemos os produtos internos dos geradores com m:
v_{1}\cdot m = (2)(-2)+(1)(5)+(1)(1) = -4+5+1=2,
v_{2}\cdot m = (-3)(-2)+(-1)(5)+(-3)(1)=6-5-3=-2.
Como \vec{x}=a v_{1}+b v_{2}, temos
\vec{x}\cdot m = a(v_{1}\cdot m)+b(v_{2}\cdot m)=a\cdot 2 + b\cdot(-2)=0.
Portanto obtemos a segunda equação
2a-2b=0.

Passo 5

Resolvemos o sistema formado por
\begin{cases} 2a-3b=-2,\\[4pt] 2a-2b=0. \end{cases}
Da segunda equação 2a-2b=0 segue a=b. Substituindo b=a na primeira equação:
2a-3a=-2 \implies -a=-2 \implies a=2.
Logo b=a=2.]

Passo 6

Agora calculamos \vec{x}=a v_{1}+b v_{2} com a=b=2:
\vec{x}=2(2,1,1)+2(-3,-1,-3)=2\big((2-3),(1-1),(1-3)\big).
Primeiro calcule v_{1}+v_{2}=(2-3,\;1-1,\;1-3)=(-1,0,-2). Assim
\vec{x}=2(-1,0,-2)=(-2,0,-4).
Portanto \vec{x}=\left(-2,x_{2},x_{3}\right) com x_{2}=0 e x_{3}=-4.

Resposta

(G) -4

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